"Алгебра (в 3 частях)", Петерсон Л.Г., Абраров Д.Л., Чуткова Е.В.
Случайное событие может произойти, а может не произойти при повторении одного и того же опыта. Чтобы изучать такие события, проводят серию испытаний, считают число наступлений и находят относительную частоту. Она равна отношению частоты к общему числу испытаний и принимает значения от 0 до 1. При большом числе испытаний относительная частота обычно становится устойчивой и помогает приблизительно оценить вероятность события.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Случайное событие — событие, которое при повторении одного и того же опыта может произойти, а может не произойти. Например, при броске кубика выпадение шестёрки является случайным событием. Это понятие нужно, чтобы описывать результаты, заранее неизвестные точно.
Испытание — одно проведение опыта, в котором наблюдают, произошло ли интересующее событие. Один бросок монеты или один бросок кубика — отдельное испытание. Понятие помогает правильно считать, сколько раз опыт повторили.
Частота события — число испытаний, в которых событие произошло. Если из 20 бросков монеты орёл появился 11 раз, частота выпадения орла равна 11. Частота показывает результат подсчёта, но сама по себе не учитывает общее число попыток.
Относительная частота события — отношение его частоты к общему числу испытаний. Её находят по формуле: относительная частота = частота / число всех испытаний. Она нужна для сравнения разных серий и для приближённой оценки вероятности.
Чтобы исследовать случайное событие, один и тот же опыт проводят много раз и записывают результат каждого испытания. Это нужно потому, что единичный результат не показывает общую картину: орёл может не выпасть при одном броске, хотя обычно появляется. Серия наблюдений позволяет увидеть, как часто событие происходит на практике.
Частоту получают простым подсчётом успешных испытаний, то есть тех, в которых событие произошло. Затем частоту делят на общее число испытаний и получают относительную частоту. Такое деление нужно, чтобы учитывать размер серии: 10 успехов из 20 и 10 успехов из 100 — это разные результаты по доле.
Относительная частота всегда находится между 0 и 1 включительно. Число наступлений события не может быть отрицательным и не может превышать количество всех испытаний, поэтому отношение частоты к общему числу также не выходит за эти границы. Значение 0 означает, что событие ни разу не произошло, а значение 1 — что оно произошло каждый раз.
При большом числе испытаний относительная частота обычно становится устойчивее и может служить приближённой оценкой вероятности. Причина в том, что отдельные случайные отклонения сильнее заметны в короткой серии, чем в длинной. Однако в конкретной серии относительная частота может отличаться от вероятности: увеличение числа испытаний не обещает точного совпадения.
Таблица помогает не смешивать три близких понятия. Сначала определите, что именно спрашивается: число успешных испытаний или доля успешных испытаний. Для оценки вероятности сравнивайте относительные частоты серий, помня, что более длинная серия обычно даёт более устойчивый результат.
| Характеристика | Частота | Относительная частота | Вероятность |
|---|---|---|---|
| Что показывает | Сколько раз событие произошло | Какую долю всех испытаний составили наступления события | Ожидаемый шанс наступления события |
| Как вычисляется | Подсчётом успешных испытаний | Частота делится на число всех испытаний | Определяется свойствами случайной модели или оценивается по данным |
| Возможные значения | Целые числа от 0 до числа испытаний | Числа от 0 до 1 включительно | Числа от 0 до 1 включительно |
| Зависит ли от конкретной серии испытаний | Да | Да | Нет, если условия модели не меняются |
| Как связана с большим числом испытаний | Растёт или сохраняется в зависимости от результатов | Обычно становится устойчивее | Служит ориентиром для относительной частоты |
Монету подбросили 20 раз, орёл выпал 11 раз. Требуется найти частоту выпадения орла. Здесь не нужно делить 11 на 20, потому что спрашивается именно число успешных испытаний.
Ответ: частота выпадения орла равна 11. Если бы требовалась относительная частота, она была бы равна 11/20.
Кубик бросили 60 раз, число 5 выпало 8 раз. Нужно найти относительную частоту выпадения пятёрки. Для этого сравним число выпадений пятёрки с числом всех бросков.
Ответ: относительная частота равна 2/15, или примерно 0,133. В процентах это около 13,3%.
В одной серии шестёрка выпала 9 раз из 60 бросков, а в другой — 47 раз из 300. Сравним относительные частоты и решим, какая серия надёжнее оценивает вероятность выпадения шестёрки. Надёжность здесь связываем прежде всего с длиной серии, а не только с тем, какая дробь получилась.
Ответ: относительные частоты равны 0,15 и примерно 0,157. Более надёжную приближённую оценку обычно даёт вторая серия, хотя точного совпадения с вероятностью она также не гарантирует.
Называют частотой отношение числа наступлений к числу испытаний. Так путают сам подсчёт с долей успешных результатов, потому что в речи оба показателя связывают со словом «часто». Проверьте себя: если ответ должен быть числом событий, нужна частота, а если дробью или десятичным числом от 0 до 1 — относительная частота.
Делят общее число испытаний на частоту вместо обратного действия. Ошибка появляется из-за невнимательности к порядку чисел в формуле. Запишите её словами: относительная частота — это «успехи из всех», значит, нужно делить частоту на общее число испытаний.
Считают, что относительная частота обязана точно равняться вероятности. В отдельной серии случайные результаты могут дать отклонение, поэтому равенство не следует из одного эксперимента. Проверяйте формулировку: относительная частота обычно является приближённой оценкой, а не точным значением вероятности.
Полагают, что при большем числе испытаний относительная частота обязательно станет ближе к вероятности в каждой новой серии. Увеличение серии повышает устойчивость оценки в общей тенденции, но не отменяет случайных отклонений. Поэтому слово «обычно» нельзя заменять словом «обязательно».
До изучения темы нужно уметь понимать, что такое опыт и событие, а также считать количество повторений и результатов. Без этого легко перепутать число испытаний с числом наступлений события.
Знание частоты и относительной частоты пригодится при изучении вероятностных моделей, оценке шансов событий и анализе результатов экспериментов. Эти понятия помогают переводить наблюдения в числа и сравнивать разные серии данных.
Чем частота события отличается от относительной частоты?
Частота — это число испытаний, в которых событие произошло. Относительная частота показывает долю таких испытаний среди всех и вычисляется делением частоты на общее число испытаний.
Как вычислить относительную частоту события?
Нужно частоту события разделить на общее число испытаний. Например, если событие произошло 8 раз из 60, относительная частота равна 8/60 = 2/15.
Может ли относительная частота быть больше 1?
Нет, не может. Число наступлений события не превышает число всех испытаний, поэтому их отношение находится от 0 до 1 включительно.
Почему относительная частота не всегда равна вероятности?
Вероятность описывает ожидаемый шанс события, а относительная частота зависит от результатов конкретной серии испытаний. Случайные отклонения возможны даже при большом количестве повторений.
Обязательно ли при увеличении числа испытаний относительная частота становится ближе к вероятности?
Нет, это не гарантируется для каждой отдельной новой серии. В целом при большом числе испытаний относительная частота обычно становится устойчивее и чаще даёт более надёжную оценку вероятности.
7.3.1 Частота и вероятность случайных событий
