§ 3. Элементы теории вероятностей

Определения и обозначения

Случайный опыт — действие или испытание, результат которого заранее неизвестен, хотя возможные результаты можно перечислить. Например, при броске кубика нельзя заранее знать, какая грань окажется сверху. Это понятие помогает отделить случайные ситуации от тех, где результат можно точно предсказать.

Элементарный исход — один отдельный возможный результат случайного опыта. При броске кубика элементарными исходами будут выпадение 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Их перечисление нужно, чтобы не упустить возможный результат и затем правильно подсчитать шансы.

Событие — утверждение о результате опыта, которое может произойти или не произойти; оно происходит, если выпавший исход ему соответствует. Например, событие «выпало чётное число» происходит при исходах 2, 4 или 6. Понятие события позволяет объединить подходящие исходы по общему условию.

Равновозможные исходы имеют одинаковые шансы, а вероятность события при конечном числе таких исходов равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех исходов. Если благоприятных исходов 2 из 6, вероятность равна 2/6 = 1/3. Это правило превращает подсчёт вариантов в численную оценку шанса события.

Как это устроено

Чтобы описать случайный опыт, сначала определяют все его возможные элементарные исходы. Их полный набор называют пространством исходов. Оно нужно потому, что без списка вариантов нельзя проверить, не пропущен ли какой-то результат и с чем сравнивать число подходящих случаев.

Событие связывают с исходами опыта: ему благоприятствуют те исходы, при которых утверждение о событии верно. Например, если событие — «выпало число меньше 3», то при броске кубика ему благоприятствуют исходы 1 и 2. Такая проверка позволяет точно установить, какие результаты учитывать в числителе при вычислении вероятности.

Событие называют достоверным, если оно происходит при любом исходе, невозможным — если не происходит ни при одном, а случайным — если оно возможно, но не гарантировано. Такое разделение следует из сравнения события со всем пространством исходов: оно может включать все варианты, не включать ни одного или включать только часть. Например, при броске кубика выпадение числа от 1 до 6 достоверно, а выпадение 7 невозможно.

Если исходы равновозможны, вероятность находят подсчётом: число благоприятных исходов делят на общее число исходов. Например, при броске правильного кубика каждый из шести результатов имеет одинаковый шанс. Поэтому для события «выпало больше 4» нужно посчитать подходящие результаты 5 и 6 и разделить их число на 6.

Вероятность достоверного события равна 1, потому что ему благоприятствуют все исходы, а вероятность невозможного равна 0, потому что подходящих исходов нет. Любое событие включает не больше исходов, чем имеется всего, и не может включать отрицательное число исходов. Поэтому его вероятность всегда находится между 0 и 1 включительно.

Основные понятия теории вероятностей

Читайте таблицу сверху вниз: сначала определите сам опыт, затем его отдельные результаты и событие, которое нужно исследовать. В последней строке сравните событие со всеми исходами. Так легче не смешать конкретный результат с утверждением о нескольких возможных результатах.

Разбор задач

Задача 1. Монету подбрасывают один раз. Перечислите элементарные исходы и назовите событие «выпал орёл».

1. У одной монеты есть две стороны, поэтому возможны два результата: выпал орёл или выпала решка.
2. Каждый из этих результатов — отдельный элементарный исход. Вместе они образуют пространство исходов данного опыта.
3. Событию «выпал орёл» соответствует только один исход — выпадение орла. Исход «выпала решка» этому событию не благоприятствует.

Ответ: элементарные исходы — орёл и решка; событию «выпал орёл» благоприятствует исход «орёл».

Задача 2. Правильный кубик бросают один раз. Найдите вероятность события «выпало число больше 4».

1. У правильного кубика шесть равновозможных исходов: 1, 2, 3, 4, 5 и 6.
2. Из них условию «больше 4» отвечают числа 5 и 6. Значит, благоприятных исходов два.
3. Делим число благоприятных исходов на общее число: 2/6 = 1/3. Результат меньше 1, поскольку событие происходит не при каждом исходе.

Ответ: 1/3.

Задача 3. Из карточек с числами от 1 до 10 наугад выбирают одну. Найдите вероятность события «число делится на 2 или на 3».

1. Всего есть 10 равновозможных исходов: выбор любого числа от 1 до 10.
2. На 2 делятся 2, 4, 6, 8, 10, а на 3 — 3, 6, 9. Объединяем списки: 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10.
3. Число 6 удовлетворяет обоим условиям, но при составлении общего списка его учитывают только один раз. Получаем 7 благоприятных исходов из 10.

Ответ: 7/10.

Типичные ошибки

• Иногда перечисляют подходящие исходы и объявляют их число вероятностью. Так происходит, если забыть, что вероятность сравнивает подходящие случаи со всеми возможными. Проверь себя: у результата должна быть форма отношения числа благоприятных исходов к общему числу, а сама вероятность не должна быть больше 1.

• Классическую формулу применяют, не проверив равновозможность исходов. Например, у необычной монеты шансы орла и решки могут различаться, хотя исходов всего два. Перед вычислением спроси себя, одинаковы ли шансы каждого результата; если нет, простое отношение количеств не подходит.

• Исход принимают за событие, хотя исход — один конкретный результат, а событие может объединять несколько результатов. Путаница возникает потому, что событие иногда включает всего один исход. Чтобы проверить себя, назови сначала отдельные результаты опыта, а затем сформулируй, какие из них удовлетворяют условию.

• При условии «или» складывают количества исходов для каждого условия и случайно учитывают общие результаты дважды. Это происходит, когда не проверяют, пересекаются ли списки. Запиши подходящие исходы в один общий перечень и оставь каждый результат только один раз.

Связь с другими темами

До изучения вероятностей полезно уметь перечислять варианты и систематически считать их количество. Если список составлен не полностью, расчёт вероятности тоже окажется неверным. Для сложного набора вариантов удобно группировать их по признакам и проверять, что ничего не пропущено.

Вероятность при равновозможных исходах вычисляют как отношение двух чисел, поэтому здесь нужны знания о дробях. Число благоприятных исходов записывают в числителе, а общее число исходов — в знаменателе. Затем дробь при необходимости сокращают.

Представления о событиях и вероятностях пригодятся при изучении статистики и решении задач на случайный выбор. Они помогают описывать результаты наблюдений и оценивать шанс разных вариантов. В дальнейшем эти идеи применяются к более сложным опытам, где исходов может быть значительно больше.

Что запомнить

• Случайный опыт имеет заранее неизвестный результат.
• Элементарный исход — один возможный результат опыта.
• Событие происходит, если результат опыта ему благоприятствует.
• Для применения классической формулы исходы должны быть равновозможными.
• Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех исходов.
• Вероятность любого события находится от 0 до 1 включительно.