7.2.2. Статистические характеристики

Определения и обозначения

Размах ряда данных — разность между наибольшим и наименьшим значениями. Он показывает, насколько широко расположены крайние значения: большой размах означает, что между ними большой промежуток. Размах помогает быстро оценить разброс данных, но не сообщает, как расположены числа внутри этого промежутка.

Среднее арифметическое ряда — сумма всех его значений, делённая на число значений. Его можно представить как результат поровну распределённой общей суммы: каждое значение после такого «уравнивания» стало бы равно среднему. Эта характеристика даёт общее представление о величине данных, хотя отдельные числа могут быть выше или ниже неё.

Мода ряда — значение, которое встречается чаще других. Она помогает заметить наиболее типичное или популярное значение, например самый частый результат наблюдений. У ряда может быть несколько мод, если несколько значений встречаются одинаково часто и чаще остальных, или не быть моды вовсе.

Медиана ряда — значение, стоящее посередине упорядоченного ряда. Если значений нечётное число, медиана — единственное центральное значение. Если их чётное число, берут два средних значения и находят их полусумму; так получают середину между ними, даже если такого числа изначально в ряду не было.

Как это устроено

Чтобы найти размах, сначала удобно расположить данные по возрастанию. Тогда наименьшее значение окажется первым, а наибольшее — последним, поэтому для вычисления достаточно взять только эти два края ряда. Из максимума вычитают минимум: так измеряют промежуток от нижней границы данных до верхней, а не наоборот.

Для среднего арифметического нужно сложить все значения, а затем разделить полученную сумму на их количество. Деление необходимо потому, что общую сумму распределяют поровну между всеми значениями. Например, если сумма пяти чисел равна 30, то при равном распределении каждому пришлось бы по 30 : 5 = 6; поэтому среднее равно 6.

Чтобы найти моду, подсчитывают, сколько раз встречается каждое значение, то есть его частоту. Наибольшая частота показывает, какое значение появляется чаще остальных. Если одинаковую наибольшую частоту имеют несколько чисел, ни одно из них не выделяется по частоте, поэтому модами будут все эти числа.

Перед поиском медианы данные упорядочивают по возрастанию или убыванию. Медиана определяется положением в ряду, а в неупорядоченном списке нельзя понять, какое значение находится посередине: соседние числа могут оказаться где угодно. После упорядочивания можно отсчитать равное число значений с обеих сторон от середины.

При чётном количестве данных одного центрального значения нет: между двумя середними числами остаётся место. Поэтому находят полусумму этих двух чисел, а не выбирают одно из них. Так определяется точка, равноудалённая от обоих центральных значений; медиана при этом может не совпадать ни с одним числом исходного ряда.

Статистические характеристики ряда данных

Выбирай способ по тому, что требуется узнать: крайний промежуток, общий уровень, самое частое значение или середину ряда. Перед вычислением медианы обязательно упорядочи числа. Для среднего не забудь посчитать все значения, в том числе повторяющиеся.

Разбор задач

Размах ряда 4, 7, 2, 9, 6

Чтобы найти размах, нужно определить только крайние значения. Порядок записи не влияет на ответ, поэтому можно сравнить числа прямо в списке или упорядочить их. Затем из наибольшего значения вычитают наименьшее.

1. Сравниваем числа: наибольшее — 9, наименьшее — 2.
2. Вычитаем: 9 − 2 = 7.
3. Проверяем, что вычитаем минимум именно из максимума.

Ответ: размах равен 7.

Среднее арифметическое и мода ряда 3, 5, 5, 7, 10

Среднее зависит от суммы всех значений, а мода — от того, сколько раз встречается каждое число. Поэтому сначала выполним отдельный подсчёт суммы и количества, а затем проверим частоту чисел. Повторяющаяся пятёрка учитывается дважды и в сумме, и при поиске моды.

1. Складываем значения: 3 + 5 + 5 + 7 + 10 = 30.
2. В ряду пять значений, значит среднее равно 30 : 5 = 6.
3. Число 5 встречается два раза, остальные — по одному; мода равна 5.

Ответ: среднее арифметическое — 6, мода — 5.

Медиана, размах и среднее ряда 8, 3, 6, 3, 11, 5

Для медианы сначала изменим порядок записи, потому что важно положение чисел. В ряду шесть значений, поэтому после упорядочивания у него будут два центральных числа. Размах и среднее найдём по тем же исходным данным: порядок на них не влияет.

1. Упорядочиваем ряд: 3, 3, 5, 6, 8, 11.
2. Центральные числа — 5 и 6; медиана равна (5 + 6) : 2 = 5,5.
3. Размах равен 11 − 3 = 8.
4. Сумма равна 8 + 3 + 6 + 3 + 11 + 5 = 36; среднее равно 36 : 6 = 6.

Ответ: медиана — 5,5, размах — 8, среднее арифметическое — 6.

Типичные ошибки

Иногда из наименьшего значения вычитают наибольшее. Так разность получается отрицательной, хотя размах — это расстояние между крайними числами. Чтобы проверить себя, найди максимум и минимум отдельно и выполни вычитание в порядке «максимум минус минимум».

При вычислении среднего можно разделить сумму не на то число, например на количество разных значений. Ошибка возникает, если забыть, что повторяющиеся числа тоже входят в ряд и считаются отдельно. Пересчитай все элементы списка и проверь: число делителей должно совпадать с количеством значений.

Медиану иногда ищут в том порядке, в котором числа записаны в условии. Но тогда выбранное «среднее» число может оказаться крайним по величине: порядок записи не говорит о положении значения среди остальных. Упорядочь данные и только потом отсчитывай середину.

Ошибочно считать, что у любого ряда есть ровно одна мода. Несколько чисел могут встретиться одинаково часто и чаще остальных, а если все значения встречаются по одному разу, наиболее частого значения нет. Подсчитай частоты всех чисел и сравни их: мода определяется максимальной частотой, а не местом числа в списке.

Связь с другими темами

Для работы со статистическими характеристиками нужны умения складывать и делить числа, сравнивать их и упорядочивать числовой ряд. Если эти действия выполнять аккуратно, легче не перепутать крайние значения и правильно найти середину. Полезно отдельно проверять количество данных, особенно перед вычислением среднего и медианы.

Статистические характеристики применяют при анализе таблиц и результатов наблюдений: например, чтобы описать измерения, результаты опроса или спортивные показатели. С их помощью можно сравнить два набора данных не только по отдельным числам, но и по общим свойствам. Размах показывает разброс, а среднее, мода и медиана дают разные способы описать типичный уровень.

Что запомнить

• Размах равен разности максимального и минимального значений.
• Среднее арифметическое — сумма значений, делённая на их количество.
• Мода встречается в ряду чаще других значений.
• Мода может быть не единственной или отсутствовать.
• Для поиска медианы ряд сначала упорядочивают.
• При нечётном количестве значений медиана — среднее значение ряда.
• При чётном количестве значений медиана — полусумма двух средних значений.