"Алгебра (в 3 частях)", Петерсон Л.Г., Абраров Д.Л., Чуткова Е.В.
Прикладные задачи описывают реальные ситуации: покупки, движение, сравнение величин. Чтобы решить такую задачу, нужно выделить известные данные и то, что требуется найти, а затем записать связи между величинами с помощью выражения или уравнения. Такая запись называется математической моделью. Её решение помогает получить ответ, но результат обязательно нужно проверить по исходному условию и записать с подходящими единицами измерения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Математическая модель — запись ситуации с помощью величин, переменных и математических соотношений. Например, стоимость нескольких одинаковых предметов можно описать умножением цены на их количество. Модель нужна, чтобы заменить длинное словесное условие короткой записью, с которой удобно выполнять вычисления.
Переменная — буква, обозначающая неизвестное или изменяющееся значение величины. Если требуется найти начальную сумму денег, её можно обозначить буквой x. Переменная помогает записать неизвестное в модели и выразить через него другие величины.
Уравнение — равенство с переменной, решение которого позволяет найти неизвестную величину. Например, если после траты 120 рублей осталось 70 рублей, можно записать x − 120 = 70. Уравнение нужно, чтобы найти значение переменной, при котором равенство верно, а затем ответить на вопрос задачи.
Сначала в условии отдели известные величины от неизвестных и найди связи между ними. Например, в задаче о покупке цена одного предмета и количество могут быть известны, а общая стоимость — неизвестна. Такой разбор нужен, чтобы не перепутать данные и понять, какое отношение следует записать. Отметь также, о каких величинах спрашивают и в каких единицах они измеряются.
Неизвестную величину удобно обозначить буквой, потому что тогда её можно использовать в вычислениях и связать с известными данными. Часто выбирают именно ту величину, о которой спрашивают: если требуется узнать начальную сумму, обозначают её x. Это делает смысл записи прозрачным и облегчает проверку. Если неизвестных несколько, подумай, можно ли выразить одну через другую, чтобы оставить в уравнении только одну переменную.
Слова условия нужно переводить в математические действия, сохраняя точный смысл отношений. Если предметов несколько и цена каждого известна, общую стоимость находят умножением; если известны части целого, их можно сложить. Слова «на 4 больше» означают прибавить 4, а «в 4 раза больше» — умножить на 4. Результатом перевода может быть выражение, равенство или уравнение — выбор зависит от того, связывает ли условие известные величины или содержит неизвестную.
Решить уравнение недостаточно: полученное число должно подходить к исходной ситуации. Подстановка найденного значения показывает, верно ли равенство, а проверка по условию помогает обнаружить ошибку в самой модели. Например, уравнение может быть решено правильно, но отражать только часть данных задачи. Поэтому сопоставь результат со всеми условиями, а не только с одним числовым равенством.
В конце запиши ответ словами и укажи единицу измерения, если речь идёт о длине, времени, деньгах или другой измеряемой величине. Это помогает понять, что именно найдено, и не перепутать, например, километры с километрами в час. Сверь ответ с вопросом задачи: найденное число должно отвечать именно на него. Если результат невозможен в данной ситуации, вернись к модели и проверь записи и вычисления.
| Этап | Что сделать | Что получить |
|---|---|---|
| Анализ условия | Выделить известные и неизвестные величины, отношения между ними и вопрос задачи. | Понятный план и список данных. |
| Выбор переменной | Обозначить неизвестную величину буквой и указать её смысл. | Переменную, связанную с вопросом задачи. |
| Построение математической модели | Перевести условия в выражение, равенство или уравнение. | Математическую запись задачи. |
| Решение модели | Выполнить вычисления или решить уравнение. | Значение неизвестной величины. |
| Проверка и ответ | Сопоставить результат с условием, проверить единицы и записать ответ. | Обоснованный ответ задачи. |
Пользуйся таблицей как последовательностью действий: не начинай решать, пока не понял, что обозначает переменная и какие связи нужно записать. После решения обязательно вернись к условию и проверь, что ответ подходит ко всем его частям. Если проверка не проходит, исправь модель или вычисления, а не подгоняй ответ под ожидаемый результат.
Задача. Цена одной тетради — 18 рублей. Сколько стоят 5 таких тетрадей? Здесь цена одной тетради и количество известны, а найти нужно общую стоимость. Поскольку все тетради стоят одинаково, общая сумма получается умножением цены на количество. Для этой задачи достаточно выражения: неизвестное обозначать переменной не требуется.
Ответ: 5 тетрадей стоят 90 рублей. Единица измерения здесь — рубли, потому что спрашивается стоимость покупки. Проверка связывает вычисление с вопросом, а не только подтверждает, что умножение выполнено верно.
Задача. После покупки трёх одинаковых блокнотов по 40 рублей осталось 70 рублей. Сколько денег было сначала? Искомая величина — начальная сумма, поэтому обозначим её x рублей. За блокноты заплатили 3 · 40 = 120 рублей, а остаток равен начальной сумме за вычетом этой покупки. Так появляется уравнение x − 120 = 70.
Ответ: сначала было 190 рублей. Уравнение включает обе части условия: стоимость покупки и оставшуюся сумму. Проверка подтверждает, что найденное число описывает исходную ситуацию.
Задача. За два дня турист прошёл 36 км. Во второй день он прошёл на 4 км больше, чем в первый. Нужно найти расстояние за каждый день. Обозначим через x километры, пройденные в первый день; тогда во второй день турист прошёл x + 4 километра. Сумма этих расстояний равна 36 км.
Ответ: в первый день турист прошёл 16 км, во второй — 20 км. Проверка суммы подтверждает общее расстояние, а проверка разности — условие о том, что второй день был длиннее на 4 км. Обе проверки нужны, потому что в задаче заданы два условия.
Иногда переменной обозначают величину, которая не отвечает на вопрос задачи. Из-за этого приходится делать лишние преобразования или становится трудно понять, что означает найденное число. Обычно ошибку допускают, когда начинают считать, не разобравшись в условии. Проверь себя: можешь ли ты точно сказать, какую величину обозначает буква и отвечает ли она на вопрос?
Ошибки возникают и при переводе слов «на … больше» и «в … раз больше»: первое означает прибавление, второе — умножение. Их путают, потому что обе фразы описывают увеличение. Например, если первая величина равна x, то «на 4 больше» — x + 4, а «в 4 раза больше» — 4x. Перескажи условие своими словами и проверь, соответствует ли ему выбранное действие.
Уравнение может выглядеть правдоподобно, но не учитывать одно из условий. Так происходит, если записать только сумму величин и забыть об их разности или другой связи. Проверка одного равенства в таком случае не доказывает, что модель составлена верно. Сверь каждую часть уравнения с отдельной фразой условия и проверь найденные значения по всем требованиям задачи.
Числовой ответ без единиц измерения или без проверки смысла тоже может быть неверным. Например, расстояние и скорость измеряются по-разному, даже если в вычислениях получено одно и то же число. Единицы иногда опускают, когда торопятся или сосредоточены только на арифметике. Укажи, что именно найдено, подпиши единицы и спроси себя, возможно ли такое значение в данной ситуации.
Для построения модели нужно уметь выполнять действия с натуральными числами, дробями и буквенными выражениями. Эти навыки помогают записывать отношения между величинами и решать составленные уравнения. Математическое моделирование применяют в текстовых задачах на движение, покупки, работу и сравнение величин. Составление уравнений станет основой для изучения более сложных уравнений и систем уравнений.
Как понять, какую величину обозначить переменной?
Обычно переменной обозначают величину, которую нужно найти. Так проще связать обозначение с вопросом задачи и составить уравнение. Если неизвестных несколько, можно выразить часть из них через одну переменную.
Как перевести условие задачи на математический язык?
Сначала выдели известные величины, неизвестную и отношения между ними. Затем запиши эти отношения выражением, равенством или уравнением. Проверь, что запись отражает все условия задачи.
Чем выражение отличается от уравнения?
Выражение состоит из чисел, переменных и знаков действий, например 18 · 5. Уравнение — это равенство с переменной, например x − 120 = 70. Чтобы решить уравнение, нужно найти значение переменной, при котором равенство верно.
Зачем проверять найденное значение по условию?
Проверка показывает, подходит ли решение уравнения к исходной ситуации. При составлении модели можно ошибиться или получить значение, которое не имеет смысла в задаче. Подстановка и сопоставление с условиями помогают обнаружить такую ошибку.
Что делать, если полученный ответ не подходит по смыслу задачи?
Проверь вычисления и правильность составления уравнения. Убедись, что найденная величина не отрицательна, имеет подходящую единицу измерения и соответствует вопросу. Если ответ всё равно невозможен, нужно пересмотреть модель и связь величин.
Приложения:
