1.2.1. Сложные высказывания

Определения и обозначения

Высказывание — повествовательное предложение, о котором можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. Например, «7 — простое число» — высказывание. Это понятие нужно, чтобы отличать проверяемые утверждения от вопросов и приказов.

Простое высказывание — высказывание, которое не состоит из других высказываний с помощью логических связок. Фраза «12 делится на 3» является простым высказыванием. Такие утверждения служат исходными частями для построения более сложных рассуждений.

Сложное высказывание — высказывание, составленное из простых или других сложных высказываний с помощью логических связок. Например, «12 делится на 3 и является чётным». Оно позволяет объединить несколько условий в одну точную фразу.

Логические связки «и», «или», «не» образуют соответственно конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание. Высказывания часто обозначают буквами A и B, чтобы короче записывать рассуждения. Так, A и B, A или B и не A — это логические записи сложных высказываний.

Как это устроено

Вопросительное предложение не является высказыванием, потому что оно запрашивает информацию, а не сообщает факт. У вопроса «Число 5 простое?» нет собственного значения истины или лжи: ответом может быть отдельное утверждение. Побудительная фраза «Реши уравнение!» тоже не проверяется на истинность, поэтому высказыванием не считается.

Выражение с переменной без заданного значения также нельзя сразу назвать истинным или ложным. Например, x > 2 при разных x может оказаться верным или неверным. Сначала задают значение переменной либо условие, определяющее её, и только затем проверяют получившееся утверждение.

Чтобы составить сложное высказывание, сначала обозначают исходные части буквами. Если A — «6 делится на 2», а B — «6 делится на 3», то запись A и B означает одновременное выполнение двух условий. Буквенная запись помогает не потерять смысл частей и применять к ним точные правила.

Связка «и» образует конъюнкцию, которая истинна только тогда, когда истинны оба составляющих высказывания. Если хотя бы одна часть ложна, вся конъюнкция ложна, поскольку совместное условие нарушено. Связка «или» образует дизъюнкцию: она истинна, когда истинна хотя бы одна часть, причём в математической логике истинность обеих частей тоже допускается.

Отрицание меняет истинностное значение высказывания на противоположное. Если A истинно, то не A ложно, а если A ложно, то не A истинно. Скобки нужны, когда связок несколько: они показывают, какую часть объединяют первой, поэтому предотвращают двусмысленное чтение записи.

Истинностные значения логических операций

В таблице перебраны все возможные сочетания истинности A и B. Чтобы найти значение сложного высказывания, сначала определите строку по исходным частям, а затем прочитайте результат нужной операции. Для отрицания достаточно посмотреть на значение A и заменить «истина» на «ложь» или наоборот.

Разбор задач

Задача 1. Даны A: «Число 8 чётное» и B: «Число 8 делится на 3». Составим A и B, A или B, не A.

1. A истинно, потому что 8 делится на 2 без остатка. B ложно, потому что 8 на 3 без остатка не делится.
2. В A и B одна часть ложна, поэтому конъюнкция ложна.
3. В A или B истинна хотя бы одна часть, значит, дизъюнкция истинна.
4. A истинно, поэтому не A ложно.

Ответ: A и B — ложь; A или B — истина; не A — ложь.

Задача 2. Пусть A: «x > 2», B: «x < 7». Найдём значение A и B при x = 5 и x = 8.

1. При x = 5 получаем A: 5 > 2, истина, и B: 5 < 7, истина.
2. Обе части истинны, поэтому A и B при x = 5 — истина.
3. При x = 8 условие A истинно: 8 > 2, а B ложно: 8 не меньше 7.
4. При x = 8 конъюнкция ложна, так как для связки «и» необходимы две истины.

Ответ: при x = 5 высказывание истинно, при x = 8 — ложно.

Задача 3. Нужно выразить условие «число делится на 2 или на 3, но не на оба одновременно». Обозначим A: «делится на 2», B: «делится на 3».

1. Записываем условие как (A или B) и не (A и B): хотя бы одно свойство должно выполняться, но оба сразу — нет.
2. Для 6 A и B истинны, поэтому A или B истинно, а не (A и B) ложно. Всё выражение ложно.
3. Для 8 A истинно, B ложно: первая часть истинна, вторая тоже истинна, значит, результат истинен.
4. Для 9 A ложно, B истинно. По той же причине итоговое высказывание истинно.

Ответ: для 6 — ложь, для 8 — истина, для 9 — истина.

Типичные ошибки

Ошибка — считать любое предложение высказыванием. Вопрос или приказ не сообщают утверждение, истинность которого можно проверить, поэтому их принимают за высказывания по привычке к обычной речи. Проверьте себя вопросом: можно ли ответить именно «истина» или «ложь»?

Иногда конъюнкцию считают истинной, если выполнено только одно условие. Это происходит из-за смешения связок «и» и «или». Для проверки отдельно установите значение каждой части: при «и» одна ложная часть уже делает весь результат ложным.

Логическое «или» ошибочно понимают как выбор строго одного варианта. В математике обычно достаточно истинности хотя бы одной части, поэтому истинность обеих частей не мешает дизъюнкции быть истинной. Уточните, нет ли в условии слов «но не оба» или другого ограничения.

Ещё одна ошибка — оценивать фразу целиком, не учитывая скобки и значения частей. Из-за этого операции выполняют в случайном порядке и получают неверный результат. Сначала выпишите A и B, вычислите выражения в скобках, а затем примените внешнюю связку.

Связь с другими темами

До изучения сложных высказываний нужно уметь различать истинные и ложные математические утверждения. Также важно проверять простые высказывания и понимать, как значение переменной влияет на результат сравнения.

Логические связки используются при записи условий задач и работе с множествами. Они помогают объединять признаки объектов, разбирать сложные математические утверждения и точно описывать случаи, когда условие выполняется.

Что запомнить

• Высказывание может быть истинным или ложным.
• Вопросы и команды высказываниями не являются.
• Сложное высказывание строится из простых с помощью логических связок.
• Конъюнкция истинна, когда истинны обе её части.
• Дизъюнкция истинна, когда истинна хотя бы одна часть.
• Отрицание меняет истинность высказывания на противоположную.
• Скобки указывают, как сгруппированы части сложного высказывания.