1.2.2.* Законы логики для сложных высказываний

Определения и обозначения

Сложное высказывание — это высказывание, составленное из простых с помощью логических связок. Простое высказывание сообщает один факт, а связки «не», «и», «или» соединяют или изменяют такие факты. Это нужно, чтобы кратко записывать условия задач и рассуждать о них символически.

Отрицание высказывания A — высказывание «не A», обозначаемое ¬A. Если A истинно, то ¬A ложно, и наоборот. Отрицание помогает сформулировать условие, при котором исходное утверждение не выполняется.

Конъюнкция высказываний A и B — высказывание «A и B», обозначаемое A ∧ B. Оно истинно только тогда, когда истинны оба исходных высказывания. Такая связка нужна, когда условие требует одновременного выполнения двух требований.

Дизъюнкция высказываний A и B — высказывание «A или B», обозначаемое A ∨ B. В логике оно истинно, если истинно хотя бы одно из высказываний, в том числе оба. Дизъюнкция позволяет объединить возможные варианты выполнения условия.

Как это устроено

Чтобы определить истинность сложного высказывания, сначала находят значения его простых частей: истина или ложь. Затем применяют правило связки, начиная с действий внутри скобок. Например, если A истинно, то ¬A ложно; если A ложно, то ¬A истинно.

Для конъюнкции достаточно найти одну ложную часть: тогда всё выражение A ∧ B ложно, потому что одновременное выполнение условия нарушено. Истинным оно становится только при двух истинных частях. Для дизъюнкции, наоборот, одна истинная часть уже делает A ∨ B истинным, поскольку требование «хотя бы одно» выполнено.

Логические законы позволяют заменять сложное высказывание равносильным ему, не меняя его истинности. Причина в том, что обе записи дают один и тот же результат при любых значениях входящих высказываний. Поэтому выражение можно преобразовать в более короткую или удобную форму и затем проще проверить.

Переместительный закон разрешает менять местами части: A ∧ B = B ∧ A и A ∨ B = B ∨ A. Сочетательный закон разрешает менять группировку однородных связок: (A ∧ B) ∧ C = A ∧ (B ∧ C), а для «или» действует такое же правило. Результат не меняется, потому что при «и» важна истинность всех частей, а при «или» — хотя бы одной, независимо от порядка.

Распределительный закон похож на раскрытие скобок: A ∧ (B ∨ C) = (A ∧ B) ∨ (A ∧ C), а A ∨ (B ∧ C) = (A ∨ B) ∧ (A ∨ C). Законы де Моргана меняют связку при отрицании: ¬(A ∧ B) = ¬A ∨ ¬B и ¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B. Двойное отрицание возвращает исходное значение: ¬¬A = A.

Основные законы логики сложных высказываний

Таблицу используют как памятку при преобразовании выражений. Сначала определите главную связку или отрицание, затем выберите подходящий закон. После замены проверьте скобки и не меняйте связку без основания.

Разбор задач

Задача 1. Пусть A означает «число делится на 2», а B — «число делится на 3». Запишем высказывание «число делится на 2 и на 3» символически и определим условие его истинности.

1. Слово «и» указывает на конъюнкцию, поэтому записываем A ∧ B.
2. Конъюнкция истинна только тогда, когда истинны A и B одновременно.
3. Значит, число должно делиться и на 2, и на 3. Например, 6 подходит, а 4 не подходит: оно делится на 2, но не делится на 3.

Ответ: A ∧ B; высказывание истинно, когда число делится одновременно на 2 и на 3.

Задача 2. Преобразовать выражение ¬(A ∨ B) и описать его словами. Внешнее отрицание относится ко всему выражению в скобках, поэтому нельзя отрицать только A или только B.

1. В скобках находится дизъюнкция A ∨ B.
2. По закону де Моргана отрицание дизъюнкции заменяем конъюнкцией отрицаний: ¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B.
3. Получаем: неверно A и неверно B, то есть не выполнено ни A, ни B.

Ответ: ¬A ∧ ¬B; словами — «не A и не B».

Задача 3. Упростить выражение ¬(A ∧ B) ∨ (A ∧ B) и обосновать результат. Здесь удобно временно заменить повторяющуюся часть одним обозначением.

1. Пусть C = A ∧ B. Тогда выражение принимает вид ¬C ∨ C.
2. Одно из двух высказываний C и ¬C всегда истинно: если C истинно, истинно C, а если C ложно, истинно ¬C.
3. Поэтому ¬C ∨ C всегда истинно. Возвращая обозначение, получаем исходный результат.

Ответ: выражение истинно при любых значениях A и B.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Считать, что A ∨ B истинно только при истинности ровно одного высказывания. Так происходит из-за разговорного смысла «или», но в логике допускается истинность обоих. Проверьте себя: если A и B истинны, результат дизъюнкции тоже истинен.

Ошибка 2. При раскрытии отрицания оставлять прежнюю связку: ¬(A ∧ B) = ¬A ∧ ¬B. Ошибка возникает, если механически добавлять отрицание к каждой части. Вспомните правило де Моргана: при отрицании «и» превращается в «или», а при отрицании «или» — в «и».

Ошибка 3. Отрицать только одну часть сложного высказывания, хотя знак ¬ стоит перед скобками. Причина — невнимательное чтение границ действия отрицания. Уберите скобки мысленно и проверьте, относится ли знак ко всему выражению или только к ближайшей букве.

Ошибка 4. Считать равносильными любые перестановки связок. Переместительные законы разрешают менять местами части только внутри одной связки и не разрешают превращать ∧ в ∨. Для проверки сравните связки и сначала расставьте скобки.

Связь с другими темами

До этой темы нужно знать, что такое высказывание и как определить его истинность или ложность. Без этого невозможно применить правила отрицания, конъюнкции и дизъюнкции. Полезно уметь внимательно читать условия задач.

Таблицы истинности и логические преобразования пригодятся при доказательствах, решении задач на делимость и работе с условиями. Они помогают проверить рассуждение для всех возможных сочетаний истинности простых высказываний. Поэтому логика связывает устное рассуждение с точной символической записью.

Законы логики похожи на преобразования алгебраических выражений. Распределительный закон напоминает раскрытие скобок, но действует не с числами, а с высказываниями и связками. Такое сходство помогает переносить привычный способ работы со скобками на логические формулы.

Что запомнить

• Отрицание меняет истинность высказывания на противоположную.
• A ∧ B истинно, только если истинны A и B.
• A ∨ B истинно, если истинно хотя бы одно из A и B.
• Перестановка и группировка однородных связок ∧ или ∨ не меняют истинности выражения.
• ¬(A ∧ B) равносильно ¬A ∨ ¬B.
• ¬(A ∨ B) равносильно ¬A ∧ ¬B.
• Двойное отрицание возвращает исходное высказывание: ¬¬A равносильно A.