"Алгебра (в 3 частях)", Петерсон Л.Г., Агаханов Н.Х., Петрович А.Ю., Подлипский О.К., Рогатова М.В., Трушин Б.В.
Линейное уравнение с двумя неизвестными связывает значения x и y условием ax + by = c. Его решение — не отдельное число, а пара значений, при которых равенство верно. Каждой такой паре соответствует точка на координатной плоскости, а все эти точки образуют график уравнения. Если коэффициенты при неизвестных не равны нулю одновременно, график — прямая. Это позволяет находить решения по рисунку и исследовать связь между величинами.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Линейное уравнение с двумя неизвестными — уравнение вида ax + by = c, где x и y — неизвестные, а a, b и c — числа; коэффициенты a и b не равны нулю одновременно. Его называют линейным, потому что неизвестные входят в первой степени, а произведений x и y между собой нет. Такая запись помогает описывать связь двух величин.
Решение уравнения с двумя неизвестными — упорядоченная пара чисел (x; y), при подстановке которой получается верное равенство. Первое число пары относится к x, второе — к y, поэтому менять их местами нельзя. Это определение нужно, чтобы однозначно записывать и проверять найденные значения.
График уравнения с двумя неизвестными — множество всех точек координатной плоскости, координаты которых образуют решения этого уравнения. Каждая точка графика соответствует одной паре (x; y), удовлетворяющей уравнению. График позволяет увидеть все решения сразу и находить их по координатам точек.
Уравнение ax + by = c называют линейным, потому что x и y не возводятся в степени выше первой и не перемножаются друг с другом. Числа a и b показывают, как неизвестные участвуют в равенстве, а c — его свободный член. Требование, чтобы a и b не были одновременно нулевыми, исключает запись, в которой неизвестные вообще не влияют на равенство.
Чтобы проверить пару, подставьте её числа вместо соответствующих букв: первое — вместо x, второе — вместо y. Затем выполните действия и сравните полученное значение левой части с правой. Если равенство верно, пара является решением; если нет, такая пара уравнению не подходит.
Уравнение с двумя неизвестными обычно имеет много решений, потому что задаёт условие для двух чисел, а не одно-единственное значение. Можно выбрать значение x и найти подходящее y, или, наоборот, выбрать y и вычислить x. Например, в уравнении x + 2y = 6 при каждом выбранном y получается своё значение x.
Пару решения записывают как координаты точки: x задаёт положение по горизонтали, а y — по вертикали. Значит, каждое решение можно отметить на координатной плоскости. Все точки, полученные таким способом для одного уравнения, вместе и составляют его график; посторонние точки в него не входят.
Для построения графика удобно выбрать несколько значений x и вычислить соответствующие y по уравнению. Полученные пары отмечают на координатной плоскости; поскольку при линейной зависимости точки лежат на одной прямой, через две различные точки проводят прямую. Если коэффициент b равен нулю, уравнение задаёт вертикальную прямую, поэтому можно выбирать значения y и находить x. Дополнительную точку полезно проверить подстановкой, чтобы заметить вычислительную или чертёжную ошибку.
| Что рассматриваем | Линейное уравнение ax + by = c | Его график |
|---|---|---|
| Запись и смысл | Равенство, связывающее неизвестные x и y. | Множество точек, координаты которых удовлетворяют равенству. |
| Что считается решением | Упорядоченная пара (x; y), при подстановке которой равенство верно. | Каждая точка графика соответствует решению уравнения. |
| Связь с координатами точки | Первое число пары подставляют вместо x, второе — вместо y. | Координаты точки записывают в порядке (x; y). |
| Вид графика при a и b не равных нулю одновременно | Уравнение задаёт линейную зависимость между неизвестными. | Прямая, в том числе вертикальная или горизонтальная в частных случаях. |
| Как проверить принадлежность точки | Подставить координаты предполагаемой точки в уравнение. | Точка принадлежит графику, если после подстановки равенство верно. |
Сначала найдите в таблице, что именно требуется определить: решение-пару или принадлежность точки графику. Затем сопоставьте координаты с x и y и выполните подстановку. Для построения используйте несколько пар решений, а на рисунке проводите через них прямую.
Нужно выяснить, выполняется ли равенство для этой пары. В записи (2; 1) число 2 соответствует x, а число 1 — y. Поэтому подставляем их именно в таком порядке.
Ответ: да, пара (2; 1) является решением уравнения.
Для поиска решений удобно выбирать такие значения y, чтобы вычисление x было простым. Из уравнения получаем x = 6 − 2y. Разные значения y дадут разные пары, и каждую можно проверить подстановкой.
Ответ: решения — (6; 0), (4; 1), (2; 2); на плоскости отмечаем соответствующие три точки.
Чтобы построить график, выразим y через x и найдём две различные точки. Для проверки заданной точки подставим обе её координаты в исходное уравнение. Так мы независимо проверим и вычисления для построения, и принадлежность точки.
Ответ: график — прямая через точки (0; −4) и (2; 0); точка (3; 2) ей принадлежит.
Ошибка — считать решением одно число или записывать пару без порядка. Обычно так происходит, когда забывают, что уравнение связывает два значения. Проверяйте себя: решение должно иметь вид (x; y), причём первое число подставляется вместо x, а второе — вместо y.
При подстановке координаты иногда меняют местами или теряют знак минус. Это случается, если воспринимать пару чисел как неупорядоченный набор. Запишите рядом, какое число заменяет каждую букву, а затем подставьте отрицательные значения в скобках и проверьте вычисления.
Несколько найденных точек могут ошибочно принять за весь график. Точки — лишь отдельные решения, а между ними есть и другие точки, тоже соответствующие решениям. Для линейного уравнения график изображают прямой, проходящей через найденные точки.
Неточно отмеченные точки или построение по одной точке не определяют прямую однозначно. Такая ошибка возникает, когда торопятся перейти от вычислений к рисунку. Найдите не менее двух различных решений, аккуратно отметьте их и проверьте, проходит ли проведённая линия через обе точки.
Для работы с уравнениями нужно уметь подставлять числа в буквенные выражения, считать с положительными и отрицательными числами и отмечать точки на координатной плоскости. Эти навыки помогают находить пары решений и строить график без вычислительных ошибок. Тема опирается на графики линейных функций и подготавливает к изучению систем линейных уравнений с двумя неизвестными. Чтение графиков пригодится, когда нужно исследовать зависимость величин или найти пересечение графиков.
Что именно называют решением уравнения с двумя неизвестными?
Решением называют упорядоченную пару чисел (x; y), которая при подстановке в уравнение превращает его в верное равенство. Порядок важен: первое число подставляют вместо x, второе — вместо y.
Как быстро проверить, является ли заданная пара решением?
Подставьте первое число пары вместо x, а второе — вместо y. Выполните вычисления и проверьте, равны ли левая и правая части уравнения.
Почему у линейного уравнения с двумя неизвестными может быть много решений?
Можно выбрать значение одной неизвестной, а затем найти значение другой, чтобы равенство выполнилось. Разные допустимые выборы обычно дают разные пары решений.
Почему график линейного уравнения — прямая?
Если выразить одну неизвестную через другую, получится зависимость вида y = kx + m или, в частном случае, вертикальная прямая. Такие зависимости изображаются прямыми, а каждая точка графика соответствует решению уравнения.
Сколько точек достаточно найти, чтобы построить график?
Достаточно двух различных точек, если они действительно удовлетворяют уравнению. Через две такие точки проводят прямую; третью точку можно вычислить для проверки построения.
2.1.1. Линейное уравнение с двумя неизвестными и его график
