2.1.2. Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Графическое решение системы

Определения и обозначения

Линейное уравнение с двумя неизвестными — уравнение вида ax + by = c, где x и y — неизвестные, а a, b и c — заданные числа. Его решениями являются пары чисел (x; y), которые превращают равенство в верное. График такого уравнения обычно является прямой.

Система двух линейных уравнений — два уравнения, записанные вместе и связанные условием одновременного выполнения: {a₁x + b₁y = c₁; a₂x + b₂y = c₂}. Система нужна, когда одна и та же пара неизвестных должна удовлетворять сразу двум условиям.

Решение системы — упорядоченная пара (x; y), которая подходит каждому уравнению системы. Графически это общая точка двух прямых, поэтому координаты этой точки и являются ответом.

Графическое решение — способ решения системы с помощью построения графиков её уравнений. По взаимному расположению прямых определяют число решений: одна точка пересечения, отсутствие общих точек или совпадение всех точек.

Как это устроено

Одно уравнение ax + by = c связывает значения x и y, поэтому каждому допустимому x соответствует определённое значение y, если b ≠ 0. После преобразования получаем y = kx + m, а это формула прямой. Значит, все пары решений одного уравнения лежат на одной прямой, и наоборот: координаты любой точки этой прямой удовлетворяют уравнению.

В системе требуется найти пару, которая подходит обоим уравнениям. Поэтому нужно найти точку, принадлежащую сразу двум графикам. Если прямые пересекаются, у них есть ровно одна общая точка, а система имеет единственное решение. Координаты пересечения и записывают как пару (x; y).

Если прямые параллельны и не совпадают, общей точки нет, поэтому система несовместна и решений не имеет. Если обе записи задают одну и ту же прямую, любая её точка подходит двум уравнениям. В таком случае решений бесконечно много, хотя на рисунке видна только одна прямая.

Для построения прямой достаточно двух её точек, потому что через любые две различные точки проходит единственная прямая. Удобно выбрать такие значения x, при которых вычисления получаются простыми, например x = 0 и x = 2. После построения обеих прямых нужно аккуратно определить координаты их пересечения и проверить результат подстановкой в исходные уравнения.

Число решений системы по графикам

Сначала определите, как расположены прямые, а затем назовите число решений системы. Если прямые пересеклись в точке с целыми координатами, ответ можно считать прямо по графику. При неточном рисунке координаты лучше уточнить вычислением или обязательной проверкой подстановкой.

Разбор задач

Задача. Решите графически систему {y = x + 1; y = −x + 3}. Нужно построить две прямые и найти координаты их общей точки. Обе формулы уже выражены через y, поэтому дополнительное преобразование не требуется.

1. Для прямой y = x + 1 возьмём x = 0 и x = 2. Получим точки (0; 1) и (2; 3), через которые проводим первую прямую.
2. Для прямой y = −x + 3 выберем те же значения x. Получим точки (0; 3) и (2; 1), через которые проводим вторую прямую.
3. Прямые пересекаются посередине между указанными точками. Чтобы получить точные координаты, приравняем выражения для y: x + 1 = −x + 3.
4. Решаем полученное уравнение: 2x = 2, поэтому x = 1. Подставляем это значение в первое уравнение: y = 1 + 1 = 2.
5. Общая точка имеет координаты (1; 2). Проверим её во втором уравнении: 2 = −1 + 3, равенство верно.

Ответ: (1; 2). Графический смысл результата таков: обе прямые проходят через точку (1; 2), поэтому именно эта пара одновременно удовлетворяет двум уравнениям.

Ещё один случай. Система {y = 2x + 1; y = 2x − 4} задаёт прямые с одинаковым угловым коэффициентом 2, но разными свободными членами. Они параллельны и не совпадают, значит, общих точек нет и система решений не имеет.

Типичные ошибки

Ошибка 1: построена только одна точка для прямой. По одной точке нельзя однозначно провести нужную прямую: через неё проходит бесконечно много прямых. Найдите минимум две различные точки и убедитесь, что они действительно удовлетворяют уравнению.

Ошибка 2: перепутан знак при вычислении y. Например, в формуле y = −x + 3 при x = 2 получается y = 1, а не 5. Подставляйте значение по частям и проверяйте найденную точку исходной формулой.

Ошибка 3: координаты записаны в неправильном порядке. В паре (x; y) первое число относится к горизонтальной оси, второе — к вертикальной. Проверьте ответ подстановкой: сначала используйте первое число вместо x, второе вместо y.

Ошибка 4: пересечение считывают слишком приблизительно. Неточная клетчатая разметка может привести к неверному ответу. Если координаты неочевидны, приравняйте правые части уравнений и затем проверьте полученную пару в обеих строках системы.

Связь с другими темами

Графическое решение опирается на координатную плоскость, построение точек и прямых. Оно связано с функцией y = kx + b: коэффициент k определяет наклон прямой, а b показывает её пересечение с осью y.

Та же система решается подстановкой или сложением. Эти способы дают более точные вычисления, а графический метод позволяет увидеть смысл ответа и быстро определить число решений по расположению прямых.

Что запомнить

• Система требует, чтобы одна пара (x; y) удовлетворяла обоим уравнениям.
• Каждое линейное уравнение с двумя неизвестными задаёт прямую.
• Решение системы — координаты общей точки графиков.
• Пересекающиеся прямые дают одно решение, параллельные — ни одного, совпадающие — бесконечно много.
• Для построения прямой достаточно двух её точек.
• Найденный ответ нужно проверять подстановкой в оба исходных уравнения.