"Алгебра (в 3 частях)", Петерсон Л.Г., Агаханов Н.Х., Петрович А.Ю., Подлипский О.К., Рогатова М.В., Трушин Б.В.
Система двух линейных уравнений описывает пары чисел, которые должны одновременно удовлетворять двум условиям. На графике каждому уравнению соответствует прямая, а решения системы — общие точки этих прямых. Поэтому пересечение даёт одну пару, параллельные прямые — ни одной, совпадающие — бесконечно много. По коэффициентам и преобразованиям уравнений можно заранее определить число решений, не строя график.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Линейное уравнение с двумя неизвестными — уравнение вида ax + by = c, где x и y — неизвестные, а a, b и c — заданные числа. Например, 2x + y = 5 — такое уравнение. Оно задаёт условие для пары чисел: не любая пара подойдёт, но все подходящие пары можно изобразить на координатной плоскости.
Система двух линейных уравнений — два линейных уравнения с одними и теми же неизвестными, которые должны выполняться одновременно. Обычно их записывают одно под другим и объединяют фигурной скобкой. Это обозначение напоминает, что недостаточно выполнить только одно условие: подходят лишь пары, удовлетворяющие обоим.
Решение системы — пара чисел (x; y), которая одновременно удовлетворяет обоим уравнениям системы. Чтобы проверить пару, подставь её значения вместо x и y в каждое уравнение. Если оба равенства верны, пара является решением; если хотя бы одно неверно, она не подходит.
Количество решений системы — число пар, являющихся решениями: одно, ни одного или бесконечно много. Это понятие помогает понять, можно ли найти единственный ответ, не существует ли подходящих пар или их слишком много для перечисления. Число решений связано с тем, как соотносятся прямые, заданные уравнениями.
Уравнение ax + by = c можно изобразить как прямую: каждой её точке соответствуют координаты x и y, при которых равенство верно. В системе нужно найти пару, подходящую сразу для двух уравнений. Значит, на графике это должна быть точка, принадлежащая обеим прямым одновременно, то есть их общая точка.
Вид прямых зависит от коэффициентов при x и y. Если одно уравнение можно преобразовать к виду y = kx + d, число k показывает наклон прямой, а d — место, где она пересекает ось y. Разные наклоны означают, что прямые пересекутся; одинаковые наклоны дают параллельные прямые или одну и ту же прямую — это зависит от свободных членов.
Пересекающиеся прямые имеют ровно одну общую точку, поэтому координаты этой точки образуют единственную пару решения. Параллельные прямые не встречаются, так что пары, которая удовлетворяла бы обоим уравнениям, нет. Если прямые совпадают, каждая их точка общая, и каждая такая точка задаёт своё решение системы.
Число решений можно установить и по коэффициентам, не строя график. Для уравнений a₁x + b₁y = c₁ и a₂x + b₂y = c₂ вычисляют определитель коэффициентов: a₁b₂ − a₂b₁. Если он не равен нулю, прямые пересекаются и решение одно; если равен нулю, коэффициенты при неизвестных пропорциональны, поэтому нужно отдельно сравнить свободные члены.
Метод сложения или подстановки приводит к тому же выводу, потому что преобразования сохраняют решения системы. Если после исключения одной неизвестной остаётся уравнение с ненулевым коэффициентом, из него находится единственное значение, а затем — вторая неизвестная. Если получается неверное равенство 0 = число, решений нет; если получается верное 0 = 0, уравнения не дают нового ограничения и решений бесконечно много.
| Условие | Взаимное расположение прямых | Количество решений | Результат преобразования системы |
|---|---|---|---|
| a₁b₂ − a₂b₁ ≠ 0 | Прямые пересекаются в одной точке | Одно решение | Получается единственная пара чисел |
| a₁b₂ − a₂b₁ = 0, но свободные члены не пропорциональны коэффициентам | Прямые параллельны и не совпадают | Решений нет | Получается противоречие вида 0 = число, не равное нулю |
| Коэффициенты и свободные члены пропорциональны | Прямые совпадают | Бесконечно много решений | Получается тождество вида 0 = 0 |
Сначала проверь определитель: если он ненулевой, дальнейшее сравнение не требуется. При нулевом определителе сопоставь свободные члены с коэффициентами: именно эта проверка отличает совпадающие прямые от параллельных. В последнем случае результат сложения или подстановки служит быстрой проверкой вывода.
Условие. Решите систему 2x + y = 5, x − y = 1 и укажите точку пересечения соответствующих прямых. Удобно сложить уравнения: при сложении y и −y уничтожаются. Полученное значение x позволит найти y подстановкой.
Ответ. Система имеет одно решение: (2; 1). На графике это точка пересечения прямых.
Условие. Определите количество решений системы 3x − 2y = 7, 6x − 4y = 10. Коэффициенты при неизвестных во втором уравнении вдвое больше, чем в первом. Проверим, сохраняется ли такой же множитель у свободного члена.
Ответ. Решений нет.
Условие. При каких m и n система (m + 1)x + 2y = 3, 2x + 4y = n имеет одно решение, не имеет решений или имеет бесконечно много решений? Сначала проверим определитель коэффициентов, чтобы найти значения m, при которых обычный случай меняется. Только для этих особых значений нужно отдельно сравнивать свободные члены.
Ответ. Одно решение при m ≠ 0; бесконечно много решений при m = 0 и n = 6; решений нет при m = 0 и n ≠ 6.
Считать, что у любых двух уравнений система автоматически имеет одно решение, — ошибка: число уравнений само по себе ничего не говорит о числе общих точек. Так думают, потому что обычно начинают с примеров, где прямые пересекаются. Проверяй определитель или сравнивай графики: две прямые могут быть параллельны либо совпадать.
Ещё одна ошибка — считать пропорциональность коэффициентов при x и y достаточной для совпадения прямых. Такие коэффициенты могут задавать параллельные прямые, если свободные члены не сохраняют ту же пропорцию. Чтобы проверить себя, сравни все три числа в уравнениях: при совпадении они должны быть пропорциональны одним и тем же множителем.
При наличии параметра нельзя сразу делить на выражение, содержащее его, не проверив, может ли оно обратиться в ноль. В особом случае деление будет недопустимо, а система может иметь другой тип решений. Приравняй делитель к нулю и разбери найденные значения отдельно, затем рассмотри остальные значения параметра.
Равенство 0 = 0 не означает, что решений нет: это верное тождество, которое не создаёт противоречия. Ошибку допускают, когда любое появление нуля после преобразований принимают за знак несовместности. Проверяй правую часть: 0 = число ≠ 0 означает отсутствие решений, а 0 = 0 обычно указывает на бесконечное множество решений.
Для этой темы нужно уметь решать линейные уравнения, преобразовывать системы методом подстановки и сложения, а также строить график линейного уравнения. Эти навыки дают два способа исследования системы: вычислительный и графический. Если один способ кажется громоздким, можно проверить вывод другим.
Понимание числа решений помогает выбрать способ решения системы и различать совместные и несовместные системы. Совместная система имеет хотя бы одно решение, несовместная — ни одного. Такой анализ особенно полезен, когда требуется не найти конкретную пару, а установить, существует ли она.
Дальше эти идеи применяются при изучении систем с параметрами, линейных неравенств и графического метода решения задач. В задачах с параметрами нужно разбирать случаи, когда меняется взаимное положение прямых. Графический метод использует ту же идею общей точки, но позволяет видеть её непосредственно.
Почему у системы может быть бесконечно много решений, если в ней всего два уравнения?
Два уравнения могут задавать одну и ту же прямую. Тогда каждая точка этой прямой удовлетворяет обоим уравнениям, поэтому решений бесконечно много.
Как быстро определить число решений без построения графиков?
Сравни коэффициенты при x и y. Если определитель a₁b₂ − a₂b₁ не равен нулю, решение одно; если он равен нулю, проверь, пропорциональны ли свободные члены. При пропорциональности всех коэффициентов решений бесконечно много, иначе решений нет.
Чем отличаются параллельные прямые от совпадающих при анализе системы?
У параллельных прямых коэффициенты при x и y пропорциональны, но свободные члены не соответствуют той же пропорции. У совпадающих прямых пропорциональны все три коэффициента, поэтому любая точка одной прямой принадлежит и другой.
Что означает результат 0 = 0 при решении системы?
Это верное равенство, которое не ограничивает неизвестные. Обычно оно означает, что уравнения задают одну прямую и система имеет бесконечно много решений.
Как учитывать особые значения параметра, при которых нельзя делить на выражение?
Сначала приравняй выражение, на которое собираешься делить, к нулю и отдельно разбери этот случай. Для остальных значений параметра деление допустимо, и полученный результат нужно проверить в исходной системе.
2.1.З.* Количество решений системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными
