"Алгебра (в 3 частях)", Петерсон Л.Г., Агаханов Н.Х., Петрович А.Ю., Подлипский О.К., Рогатова М.В., Трушин Б.В.
Система двух линейных уравнений описывает ситуацию, в которой одна пара чисел должна одновременно удовлетворять двум условиям. Чтобы найти эту пару, уравнения преобразуют и сводят задачу к решению одного линейного уравнения. При подстановке одну неизвестную выражают через другую, а при сложении добиваются сокращения одной из неизвестных. Выбор способа зависит от того, какое преобразование проще выполнить.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными — пара уравнений, которые должны выполняться одновременно для одной и той же пары значений неизвестных. Например, x + y = 5 и x − y = 1 образуют систему: значения x и y должны подходить сразу к обоим равенствам. Это понятие нужно, когда одна задача задаёт несколько условий для одних и тех же величин.
Решение системы — упорядоченная пара значений неизвестных, удовлетворяющая каждому уравнению системы. Запись (x; y) показывает, какое значение относится к первой переменной, а какое — ко второй. Решение системы — не просто набор чисел: пара, подходящая только к одному уравнению, не подходит.
Способ подстановки — способ решения системы, при котором из одного уравнения выражают неизвестную и подставляют её выражение в другое уравнение. Например, из y = 2x + 1 сразу понятно, чем заменить y во втором равенстве. Приём нужен, чтобы вместо системы получить одно уравнение с одной неизвестной.
Способ сложения — способ решения системы, при котором уравнения складывают или вычитают так, чтобы исключить одну из неизвестных. Если коэффициенты при x равны 3 и −3, то слагаемые с x при сложении взаимно уничтожаются. Этот способ удобен, когда коэффициенты можно быстро сделать противоположными.
Каждое уравнение системы задаёт отдельное условие. Пара чисел может удовлетворять первому условию, но не удовлетворять второму, поэтому проверки только одного равенства недостаточно. Решение ищут как общую пару, подходящую одновременно к обоим условиям. Так сохраняется смысл исходной задачи, где все требования действуют сразу.
При подстановке сначала из одного уравнения выражают одну переменную через другую. Полученное выражение гарантированно выполняет первое уравнение, потому что оно было получено именно из него. Если заменить этой записью переменную во втором уравнении, останется одно уравнение с одной неизвестной. Решив его, находят одну координату пары, а затем по выражению восстанавливают другую.
После решения уравнения с одной переменной нужно найти значение второй и проверить оба исходных уравнения. Это важно потому, что при вычислениях можно ошибиться со знаком или неверно переписать выражение. Кроме того, найденное значение переменной само по себе ещё не является решением системы: нужна пара. Подстановка пары в исходные равенства проверяет, что выполнены оба условия.
При сложении выбирают неизвестную, которую хотят исключить, и при необходимости умножают уравнения на подходящие числа. Например, коэффициенты 2 и 4 можно превратить в 4 и −4, чтобы слагаемые с одной переменной сократились. После сложения остаётся уравнение только с другой неизвестной. Если коэффициенты уже противоположны, достаточно сложить уравнения без предварительного умножения.
Умножение обеих частей уравнения на одно и то же ненулевое число даёт равносильное уравнение: исходное и новое имеют одинаковые решения. Сложение уравнений тоже помогает получить следствие, которое выполняется для любой пары, решающей исходную систему. Поэтому преобразования позволяют упростить поиск, не теряя подходящих пар. При умножении важно обработать каждый член уравнения, в том числе свободное число справа.
| Характеристика | Способ подстановки | Способ сложения |
|---|---|---|
| Основной приём | Выразить переменную и заменить ею эту переменную в другом уравнении. | Сложить или вычесть уравнения, исключив одну переменную. |
| Когда удобнее применять | Когда одна переменная уже выражена или её легко выразить. | Когда коэффициенты уже противоположны или их легко такими сделать. |
| Ключевое преобразование | Подстановка выражения вместо переменной. | Умножение уравнений на множители и их сложение. |
| Как найти вторую неизвестную | Подставить найденное значение в выражение для неё. | Подставить найденное значение в исходное уравнение. |
| Что проверить в ответе | Обе координаты и выполнение каждого исходного уравнения. | Обе координаты и выполнение каждого исходного уравнения. |
Сначала оцени, какое преобразование в конкретной системе будет короче. Если переменная легко выражается — обычно выбирают подстановку, а если удобно сократить слагаемые — сложение. В любом случае ответ проверяют в исходной системе.
Условие. Решите систему: x + y = 7, x − y = 1. Коэффициенты при y равны 1 и −1, поэтому при сложении эта переменная исчезнет. Сначала найдём x, а затем вернёмся к одному из исходных уравнений.
Ответ: (4; 3).
Условие. Решите систему: y = 2x + 1, 3x + y = 11. В первом уравнении y уже выражена через x, поэтому нет необходимости преобразовывать его. Заменим y во втором равенстве, решим уравнение с x и восстановим y.
Ответ: (2; 5).
Условие. Решите систему: 2x + 3y = 7, 4x − 5y = 1. Коэффициенты при x пока не противоположны, но второе вдвое больше первого. Умножим первое уравнение на −2: тогда коэффициент при x станет −4, и при сложении с 4x переменная сократится.
Ответ: (19/11; 13/11).
При подстановке выражение иногда заменяет неизвестную только в части уравнения. Это происходит, если ученик теряет из виду остальные слагаемые с той же переменной. Проверь запись по исходному уравнению: замена должна стоять на месте каждого вхождения неизвестной, а знаки и скобки должны сохраниться.
При умножении уравнения иногда умножают не все слагаемые или забывают правую часть. Обычно так случается, когда множитель применяют только к первому члену. Перепиши уравнение целиком и умножь на число каждую часть равенства; после этого проверь, что равенство сохранилось для исходных значений.
При сложении можно ошибиться со знаками коэффициентов или свободных членов, и переменная не сократится. Поспешность мешает заметить, что сумма, например, 4x и 4x равна 8x, а не нулю. Перед сложением отдельно проверь выбранные коэффициенты: они должны быть противоположными, а знаки всех остальных членов нужно переписать без изменений.
Иногда записывают только одно найденное значение или пару чисел без проверки. Причина — смешение промежуточного ответа с решением системы. Найди обе неизвестные, запиши их в правильном порядке и подставь пару в каждое исходное уравнение. Решением она является только тогда, когда оба равенства верны.
Для решения систем нужны навыки, освоенные при работе с линейными уравнениями с одной неизвестной: перенос слагаемых, приведение подобных и деление на коэффициент. Также нужно уметь выражать одну переменную через другую и выполнять равносильные преобразования уравнений. Эти действия превращают систему в более простую задачу, но сохраняют её решения.
Системы помогают составлять математические модели задач, когда неизвестные величины связаны сразу несколькими условиями. Например, уравнения могут описывать два соотношения между ценами или количествами. Позже ту же систему можно решать графически: каждое уравнение задаёт линию, а общая точка показывает решение. Алгебраические способы находят координаты этой точки вычислениями.
Как понять, какой способ решения системы выбрать?
Посмотри на коэффициенты и на то, легко ли выразить одну неизвестную. Если в уравнении переменная уже выражена или её коэффициент равен 1 или −1, часто удобна подстановка. Если коэффициенты можно быстро сделать противоположными, выбирай сложение.
Можно ли выражать при подстановке любую из неизвестных?
Да, можно выразить x через y или y через x. Выбирай вариант, в котором выражение получается проще и не требует деления на неудобный коэффициент. В обоих случаях решение системы не меняется.
Зачем умножать уравнения перед их сложением?
Множители нужны, чтобы коэффициенты одной неизвестной стали равными по модулю и противоположными по знаку. Тогда при сложении эта неизвестная сократится. Умножать нужно каждую часть уравнения, включая правую.
Почему при сложении уравнений одна неизвестная исчезает?
Например, если в уравнениях есть слагаемые 3x и −3x, их сумма равна нулю. Поэтому после сложения остаётся уравнение с другой неизвестной. Для этого коэффициенты выбранной переменной заранее делают противоположными.
Как проверить, что пара чисел действительно является решением системы?
Подставь найденные значения вместо неизвестных в каждое исходное уравнение. Вычисли левую и правую части отдельно и убедись, что в обоих уравнениях они равны. Если хотя бы одно условие не выполняется, в решении есть ошибка.
2.1.4. Алгебраические методы решения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными: способ подстановки и способ сложения
