"Алгебра (в 3 частях)", Петерсон Л.Г., Агаханов Н.Х., Петрович А.Ю., Подлипский О.К., Рогатова М.В., Трушин Б.В.
Математическая модель помогает перевести условие задачи на язык чисел и уравнений. Неизвестные обозначают буквами, а каждое существенное условие записывают равенством. Если неизвестных две и условия должны выполняться одновременно, получается система линейных уравнений. Её решением служит пара чисел, подходящая ко всем уравнениям. Такие модели помогают решать задачи о числах, предметах и величинах, связанных несколькими условиями.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Математическая модель — описание условия задачи с помощью математических объектов: чисел, выражений, уравнений. Неизвестные величины обозначают буквами и сразу объясняют, что означает каждая буква. Также указывают единицы измерения, если речь идёт о длине, времени или массе. Такая запись помогает увидеть связи между данными задачи и не перепутать их при вычислениях.
Линейное уравнение с двумя неизвестными — уравнение вида ax + by = c, где x и y — неизвестные, а a, b и c — числа. Например, 2x + 3y = 12 — линейное уравнение с двумя неизвестными. Оно задаёт связь между x и y, но само по себе часто не определяет единственную пару значений. Такие уравнения используют, когда в задаче связаны две неизвестные величины.
Система линейных уравнений с двумя неизвестными — несколько линейных уравнений, которые должны выполняться одновременно для одних и тех же значений x и y. Условия задачи могут задавать разные связи между теми же величинами, поэтому их записывают вместе. Система позволяет учесть все эти связи сразу. Обычно два независимых условия дают два уравнения.
Решение системы — пара значений неизвестных, которая превращает каждое уравнение системы в верное равенство. Порядок в паре важен: (x; y) означает, что первое число подставляют вместо x, а второе — вместо y. Подходящая только одному уравнению пара не является решением системы. Это определение подсказывает, как проверить найденный ответ.
Сначала выбери величины, которые требуется найти, и обозначь их буквами. Например, если ищешь два числа, можно назвать первое x, а второе y; затем укажи, что именно обозначает каждая буква. Проверь, что единицы измерения согласованы: нельзя складывать метры и минуты. Такой старт нужен, потому что смысл неизвестных определяет, как именно записать условие.
Переводи условия в равенства по одному: каждое существенное сообщение задачи задаёт связь между величинами. Если сумма двух чисел равна 26, получится x + y = 26; если первое на 8 больше второго, то x − y = 8. Именно порядок величин помогает верно передать слова «больше» и «меньше». Когда таких связей несколько, из соответствующих равенств складывается система.
Решение системы должно удовлетворять обоим уравнениям, потому что исходная задача требует выполнения всех условий сразу. Поэтому пары, которые подходят только одному уравнению, отбрасывают. После вычислений подставь найденные значения сначала в первое, затем во второе уравнение. Если оба равенства верны, пара подходит системе; далее ещё нужно проверить смысл ответа в задаче.
При способе подстановки вырази одну неизвестную через другую из того уравнения, где это проще сделать. Полученное выражение подставь во второе уравнение — так задача сведётся к уравнению с одной неизвестной. Найдя её, вернись к выражению и вычисли вторую неизвестную. Этот способ удобен, когда коэффициент при одной букве равен 1 или уравнение легко преобразовать.
При способе сложения преобразуй уравнения так, чтобы коэффициенты при одной неизвестной стали противоположными. Если нужно, умножь обе части одного или обоих уравнений на число, а затем сложи равенства: одна неизвестная исчезнет. Найди оставшуюся неизвестную и подставь её в любое исходное уравнение. Проверка в обоих исходных уравнениях нужна, чтобы убедиться, что преобразования не привели к ошибке.
| Способ | Основное действие | Когда удобно применить | Что проверить |
|---|---|---|---|
| Подстановка | Выразить одну неизвестную и подставить её выражение в другое уравнение | Когда одну неизвестную легко выразить | Подставить найденную пару в оба уравнения |
| Сложение | Умножить уравнения при необходимости и сложить их, чтобы исключить неизвестную | Когда коэффициенты при одной из неизвестных равны или противоположны | Подставить найденную пару в оба уравнения |
| Графический | Построить графики уравнений и найти их общую точку | Когда графики легко построить и достаточно наглядного ответа | Проверить координаты точки в обоих уравнениях |
Сначала посмотри на коэффициенты и выбери способ, который требует меньше преобразований. Подстановка обычно быстрее, когда легко выразить неизвестную, а сложение — когда удобно исключить её. Графический способ нагляден, но координаты точки на рисунке могут быть приближёнными, поэтому для точного ответа полезна проверка.
Обозначим первое число через x, второе — через y. Из условия о сумме получаем x + y = 26. Из условия «первое на 8 больше второго» следует x − y = 8.
Выразим x из второго уравнения: x = y + 8. Подставим это выражение в первое: y + 8 + y = 26. Тогда 2y = 18, откуда y = 9.
Подставим y = 9 в равенство x = y + 8 и найдём x = 17. Проверим: 17 + 9 = 26, а 17 − 9 = 8. Оба условия выполнены.
Ответ: 17 и 9.
Пусть x — количество кур, а y — количество кроликов. По общему числу животных составим уравнение x + y = 18. У кур по две ноги, у кроликов по четыре, поэтому по общему числу ног получаем 2x + 4y = 50.
Из первого уравнения выразим x: x = 18 − y. Подставим во второе: 2(18 − y) + 4y = 50. После раскрытия скобок получаем 36 + 2y = 50, значит, y = 7.
Тогда x = 18 − 7 = 11. Проверим количество животных: 11 + 7 = 18; проверим ноги: 2 · 11 + 4 · 7 = 50. Ответы целые и неотрицательные, как и должно быть для количества животных.
Ответ: 11 кур и 7 кроликов.
Обозначим цифру десятков через x, а цифру единиц через y. Тогда исходное число записывается как 10x + y, а число с переставленными цифрами — как 10y + x. Учитываем, что x и y — целые цифры от 0 до 9, причём x ≠ 0.
Сумма цифр даёт уравнение x + y = 11. Второе условие означает, что 10x + y на 27 больше, чем 10y + x. Запишем: 10x + y = 10y + x + 27, откуда после упрощения x − y = 3.
Из x + y = 11 и x − y = 3 сложим равенства: 2x = 14, поэтому x = 7. Тогда y = 4. Проверим: цифры дают сумму 11, а 74 − 47 = 27.
Ответ: 74.
Если обозначить неизвестные буквами, но не объяснить, что они значат, можно перепутать величины и неверно истолковать ответ. Так часто происходит, когда задача описывает похожие объекты, например кур и кроликов. Запиши рядом с каждой буквой её смысл и единицы измерения. Перед составлением уравнений проверь, что выбранные обозначения охватывают всё, что требуется найти.
При переводе слов «на 5 больше» легко перепутать порядок вычитания: равенство x − y = 5 означает, что x больше y на 5, а y − x = 5 говорит обратное. Ошибка возникает, если записывать числа в том порядке, в каком они встретились в тексте, не проверяя смысл. Прочитай полученное равенство вслух и подставь простой пример, например x = 8, y = 3. Так станет видно, верно ли передано условие.
Пара может удовлетворять одному уравнению, но не другому, поэтому считать её решением системы нельзя. Такое случается, если проверяют только последнее вычисление или ошибаются при подстановке. Подставь оба найденных значения в каждое исходное уравнение. Если хотя бы одно равенство неверно, найди ошибку в вычислениях или преобразованиях.
Даже верно решённая система не всегда даёт ответ, подходящий задаче: количество предметов не бывает отрицательным или дробным, а цифра десятков не равна нулю. Ограничения забывают, когда воспринимают уравнения отдельно от исходного условия. Проверь допустимость каждого значения и вернись к формулировке задачи. Полезно также подставить результат в условие обычными словами.
Для составления и решения систем нужны навыки работы с линейными уравнениями с одной неизвестной: преобразование выражений, перенос слагаемых и действия с равенствами. Эти умения позволяют выполнять подстановку и сложение без потери равносильности. Системы особенно полезны в текстовых задачах, где несколько неизвестных связаны разными условиями. Позже они встретятся при изучении функций и других способов решения систем уравнений.
Как понять, сколько неизвестных нужно ввести?
Введи отдельную неизвестную для каждой величины, которую нужно найти и нельзя выразить через другую сразу. Например, для количества кур и кроликов удобно взять две неизвестные. Сразу подпиши, что означает каждая из них.
Почему по двум условиям обычно составляют два уравнения?
Каждое независимое условие даёт отдельную связь между неизвестными. Поэтому два условия обычно переводят в два уравнения системы. Иногда условия можно объединить или одно из них окажется лишним, но это нужно проверить по смыслу задачи.
Чем решение системы отличается от решения одного уравнения?
Одно уравнение с двумя неизвестными обычно допускает много пар значений. Решение системы — это пара, которая одновременно превращает в верные равенства все уравнения системы. Поэтому ответ проверяют в каждом уравнении.
Как выбрать между способом подстановки и способом сложения?
Подстановка удобна, если одну неизвестную легко выразить через другую. Сложение выбирают, когда коэффициенты при одной неизвестной уже равны или противоположны либо их легко такими сделать умножением уравнений. Если графики легко построить, можно воспользоваться графическим способом.
Зачем проверять найденные значения в условии задачи?
Проверка помогает заметить вычислительную ошибку и убедиться, что пара подходит обоим уравнениям. Кроме того, математическое решение может не подходить реальной ситуации: например, количество животных должно быть целым и неотрицательным. Поэтому сверяй ответ и с уравнениями, и с ограничениями задачи.
2.1.5. Математические модели задач и системы линейных уравнений с двумя неизвестными
