"Алгебра (в 3 частях)", Петерсон Л.Г., Агаханов Н.Х., Петрович А.Ю., Подлипский О.К., Рогатова М.В., Трушин Б.В.
Система двух уравнений с модулями — это два условия, которые должны выполняться для одной и той же пары чисел. Модуль раскрывают по знаку выражения внутри него: при неотрицательном знаке оставляют выражение, при отрицательном меняют его знак. Поэтому решение разбивают на случаи, в каждом получают обычную систему линейных уравнений и проверяют найденные пары. Полный ответ — объединение решений всех допустимых случаев.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Модуль выражения — неотрицательное значение выражения: если выражение под знаком модуля неотрицательно, модуль равен ему самому, а если оно отрицательно — противоположному выражению. Например, при A ≥ 0 имеем |A| = A, а при A < 0 — |A| = −A. Это определение подсказывает, как раскрывать модуль, не меняя значение выражения.
Линейное уравнение с модулем — уравнение, в котором под знаком модуля стоит линейное выражение с переменными, например |x + y| = 2. Пока знак выражения внутри модуля неизвестен, уравнение нельзя заменить одним уравнением без модуля. Разбор знаков превращает его в более привычные линейные уравнения.
Система двух линейных уравнений с модулями — два уравнения, которые должны выполняться одновременно для одной пары значений переменных. Поэтому недостаточно решить только одно из условий: найденная пара должна подойти обоим уравнениям. Задача сводится к поиску всех таких пар.
Равносильные системы — системы, имеющие одно и то же множество решений. При раскрытии модулей мы рассматриваем случаи с дополнительными условиями на знаки, поэтому следим, чтобы переходы не добавляли посторонние пары и не теряли подходящие. Это нужно для того, чтобы итоговый ответ совпал с ответом исходной системы.
Модуль неотрицателен, а выражение внутри него может иметь любой знак. Если A ≥ 0, то |A| = A; если A < 0, то |A| = −A. Поэтому выбор замены зависит от того, какая сторона нуля у значения A. Например, |x − 1| раскрывается как x − 1 при x ≥ 1 и как 1 − x при x < 1.
Чтобы решить систему с модулями, сначала обозначают выражения под знаками модулей и рассматривают их знаки. Для каждого модуля есть два варианта, а значит, при двух модулях нужно перебрать четыре сочетания: оба неотрицательны, отрицательно только первое, отрицательно только второе, оба отрицательны. Условия со знаком ≥ или < записывают вместе с каждым случаем: без них нельзя понять, где выбранная замена верна.
В одном конкретном случае знаки уже известны. Поэтому каждый модуль можно заменить выражением без модуля, и исходная система становится обычной системой линейных уравнений. Например, если A < 0 и B ≥ 0, то |A| заменяют на −A, а |B| — на B. Полученная система описывает лишь ту часть задачи, где одновременно выполнены выбранные условия.
Дальше решают линейную систему, например подстановкой или сложением уравнений. Полученную пару проверяют дважды: сначала подставляют в условия знаков выбранного случая, затем — в исходные уравнения с модулями. Если знак не подходит, пара является посторонней для этого случая, даже если она решает преобразованную систему. Проверка особенно важна на границе, где выражение равно нулю.
Каждая возможная пара имеет определённые знаки выражений под модулями, поэтому она попадёт в один из разобранных случаев. Если все случаи рассмотрены, ни одно решение не будет пропущено; отбрасывание пар, не подходящих условиям знаков, не оставит лишних ответов. Значит, объединение решений всех допустимых случаев даёт полное множество решений исходной системы. Повторяющиеся пары в итоговый ответ записывают только один раз.
| Знак подмодульного выражения | Замена модуля | Полученная система | Дополнительное условие | Проверка решения |
|---|---|---|---|---|
| Оба выражения неотрицательны | |A| = A; |B| = B | Исходная система с заменами | A ≥ 0, B ≥ 0 | Проверить оба неравенства и исходные уравнения |
| Первое отрицательно, второе неотрицательно | |A| = −A; |B| = B | Исходная система с заменами | A < 0, B ≥ 0 | Проверить оба знака и исходные уравнения |
| Первое неотрицательно, второе отрицательно | |A| = A; |B| = −B | Исходная система с заменами | A ≥ 0, B < 0 | Проверить оба знака и исходные уравнения |
| Оба выражения отрицательны | |A| = −A; |B| = −B | Исходная система с заменами | A < 0, B < 0 | Проверить оба неравенства и исходные уравнения |
| Объединение решений всех допустимых случаев | Оставить только пары, прошедшие проверки | Общий ответ исходной системы | Учесть все сочетания знаков | Удалить повторы и подставить пары в исходную систему |
В таблице A и B обозначают выражения, стоящие под знаками модулей. Сначала выберите строку с нужными знаками, затем выполните замену и решите линейную систему. Не забудьте проверить условия этой строки: сама по себе найденная пара ещё не обязательно подходит исходной системе.
Решить систему |x + y| = 2, x − y = 0. Второе уравнение сразу связывает переменные: x = y. Для первого уравнения нужно рассмотреть оба знака выражения x + y, потому что заранее неизвестно, положительно оно или отрицательно.
Ответ: (1, 1), (−1, −1).
Решить систему |2x − y| = 3, |x + y| = 1. Обозначим A = 2x − y и B = x + y. Каждая правая часть положительна, поэтому для A возможны значения 3 и −3, а для B — 1 и −1; так возникают четыре комбинации.
Ответ: (4/3, −1/3), (2/3, −5/3), (−2/3, 5/3), (−4/3, 1/3).
Решить систему |x − 2y| + y = 4, x + |y − 1| = 3. Обозначим A = x − 2y, B = y − 1. Здесь в каждом случае заменяются оба модуля, после чего пару проверяют по знакам A и B.
Ответ: (2, 2). Подстановка в исходную систему даёт |2 − 4| + 2 = 4 и 2 + |2 − 1| = 3.
Раскрывают модуль без учёта знака. Иногда выражение внутри модуля просто переписывают без него, потому что забывают второй вариант определения модуля. Так можно ошибиться, если выражение отрицательно. Перед заменой проверьте знак и запишите рядом условие, при котором замена верна.
Рассматривают не все комбинации знаков. При двух модулях легко разобрать только случаи «оба положительны» и «оба отрицательны», забыв смешанные варианты. Тогда часть решений теряется. Составьте список из четырёх сочетаний знаков до начала вычислений.
Не проверяют условия случая. Решение линейной системы может нарушать знаки, на основе которых раскрывали модули. Такие пары кажутся правильными, если проверить только преобразованные уравнения. Подставьте каждую пару в выражения под модулями и сравните знаки с условиями случая.
Неверно записывают объединение ответов. Можно оставить ответы отдельных случаев разрозненными или повторить одну пару, найденную на границе. Это случается, если не собрать результаты в общий список. Сведите допустимые решения в один ответ, удалите повторы и выполните подстановку в исходную систему.
Для решения нужны определение модуля, правила его раскрытия по знаку выражения и способы решения систем двух линейных уравнений. На координатной плоскости каждое линейное уравнение задаёт прямую, а решение обычной системы соответствует точке пересечения прямых; в задаче с модулями рассматривают подходящие прямые для разных случаев. Такой разбор пригодится при решении неравенств, задач с кусочно заданными функциями и систем с несколькими модулями.
Почему нельзя сразу заменить модуль его содержимым?
Модуль равен выражению внутри него только тогда, когда это выражение неотрицательно. Если оно отрицательно, модуль равен противоположному выражению. Без проверки знака можно получить неверную систему и потерять или добавить решения.
Сколько случаев нужно рассмотреть при наличии двух модулей?
Для каждого модуля возможны два знака: выражение внутри него неотрицательно или отрицательно. Для двух модулей получаются четыре комбинации знаков. Некоторые случаи могут не дать подходящих решений.
Нужно ли проверять решения после решения каждой системы?
Да. Каждая пара должна удовлетворять не только полученным уравнениям, но и условиям знаков, по которым раскрывали модули. В конце полезно подставить оставшиеся пары в исходную систему.
Что делать, если в разных случаях получилось одно и то же решение?
Записать эту пару в ответ один раз. При нулевом значении выражение подходит сразу к случаям с нестрогими условиями ≥ 0 и ≤ 0, поэтому повтор может возникнуть.
Можно ли решить такую систему графически?
Да: каждое уравнение с модулем задаёт график, а решения системы — точки пересечения графиков. Однако при нескольких модулях обычно удобнее разбить задачу на знаковые случаи и решить полученные линейные системы.
2.1.6. Системы двух линейных уравнений с модулями
