2.1.7.* Системы линейных уравнений с тремя и более неизвестными

Определения и обозначения

Линейное уравнение с несколькими неизвестными — уравнение, в котором неизвестные входят только в первой степени и не перемножаются друг с другом. Например, 2x − y + 3z = 7 является линейным, а xy = 4 и x² + z = 5 — нет. Это определение помогает понять, какие преобразования можно применять к уравнению.

Система линейных уравнений — несколько линейных уравнений, решения которых должны выполняться одновременно. Её записывают фигурной скобкой, например { x + y + z = 6; 2x − y + z = 3; x + 3y − z = 2 }. Система нужна, когда одни и те же неизвестные связаны сразу несколькими условиями.

Решение системы — набор значений неизвестных, обращающий каждое уравнение системы в верное равенство. Если для трёх неизвестных получен набор (1; 2; 3), его подставляют во все уравнения, а не только в одно. Только одновременная проверка подтверждает, что набор подходит.

Равносильные системы — системы, имеющие одно и то же множество решений. При решении заменяют исходную систему равносильной, но более простой. Тогда найденные значения подходят исходной системе, хотя записанные уравнения постепенно меняются.

Как это устроено

Система с тремя неизвестными x, y и z может содержать, например, три или больше уравнений: { a₁x + b₁y + c₁z = d₁; a₂x + b₂y + c₂z = d₂; a₃x + b₃y + c₃z = d₃ }. Решение означает, что один и тот же набор x, y, z одновременно удовлетворяет каждой строке. Поэтому нельзя решить только одно уравнение и считать задачу законченной: остальные условия могут не выполниться.

Чтобы упростить систему, исключают одну неизвестную из нескольких уравнений. Для этого уравнения умножают на подходящие числа и складывают или вычитают, чтобы коэффициенты выбранной неизвестной стали противоположными. Получается уравнение с меньшим числом неизвестных, а вместе с другими оно сохраняет всю нужную информацию об исходной системе.

Затем процесс повторяют: из системы с двумя неизвестными получают уравнение с одной неизвестной. Найдя её, возвращаются к предыдущему уравнению и подставляют значение. Такая обратная подстановка позволяет последовательно восстановить сначала вторую, затем третью и остальные неизвестные.

Равносильность сохраняется, если складывать уравнения, умножать их на ненулевое число или заменять одно уравнение его суммой с другим. Ненулевой множитель не меняет множество решений, а сложение равенств создаёт условие, обязательное для любого решения. Делить можно только на выражение, о котором известно, что оно не равно нулю.

В конце преобразований возможны разные результаты. Если все неизвестные находятся однозначно, решение единственное; если возникает 0 = 5, система несовместна. Равенство 0 = 0 означает, что полученное условие не ограничивает неизвестные, поэтому при наличии свободной переменной решений может быть бесконечно много.

Результаты преобразования системы линейных уравнений

Пользуйтесь таблицей после каждого этапа исключения: смотрите не только на найденные числа, но и на вид полученного равенства. Равенство 0 = 0 само по себе не всегда означает бесконечное множество решений: нужно проверить, остались ли свободные неизвестные и какие условия дают другие уравнения.

Разбор задач

Система из трёх уравнений

Условие. Решить систему { x + y + z = 6; 2x − y + z = 3; x + 3y − z = 2 }. Исключим сначала x, затем z, чтобы получить уравнение только с одной неизвестной.

1. Вычтем из второго уравнения удвоенное первое: −3y − z = −9.
2. Вычтем из третьего первое: 2y − 2z = −4, или y − z = −2.
3. Из равенства y − z = −2 получаем z = y + 2. Подставим это в −3y − z = −9: −3y − (y + 2) = −9, поэтому y = 7/2.
4. Тогда z = 7/2 + 2 = 11/2. Подставим найденные значения в первое уравнение: x + 7/2 + 11/2 = 6, откуда x = −2.

Ответ: (x; y; z) = (−2; 7/2; 11/2). Проверка показывает: каждое из трёх исходных уравнений превращается в верное равенство, значит, последовательное исключение выполнено правильно.

Система из четырёх уравнений

Условие. Рассмотрим систему { x + y + z + t = 10; 2x + y + z + t = 11; x + 2y + z + t = 11; x + y + 2z + t = 11 }. Приведём её к ступенчатому виду, исключая x, затем y и z.

1. Вычтем первое уравнение из второго, третьего и четвёртого. Получим x = 1, y = 1 и z = 1 в соответствующих новых уравнениях.
2. Подставим x = 1, y = 1, z = 1 в первое уравнение: 1 + 1 + 1 + t = 10, поэтому t = 7.
3. Все неизвестные выражены через числа, значит, система имеет единственное решение.

Ответ: (x; y; z; t) = (1; 1; 1; 7). В методе Гаусса такие последовательные строки образуют ступенчатую систему, из которой значения удобно находить снизу вверх.

Система со свободной неизвестной

Условие. После преобразований системы получены уравнения x + y + z = 4 и 2x + 2y + 2z = 8. Второе равенство является удвоенным первым и не даёт нового ограничения.

1. Перенесём свободные неизвестные: x = 4 − y − z.
2. Обозначим y = s и z = t, где s и t — произвольные числа.
3. Тогда x = 4 − s − t, поэтому решение задаётся двумя параметрами.

Ответ: (x; y; z) = (4 − s − t; s; t), s, t ∈ R. Две свободные неизвестные показывают, что решений бесконечно много.

Типичные ошибки

Ученик может проверить набор только в одном уравнении и назвать его решением. Так происходит, потому что одно равенство выглядит убедительно, но система требует выполнения всех условий. Подставьте найденные значения в каждую исходную строку.

При сложении или вычитании уравнений часто теряют знак минус, поэтому неизвестная сокращается неправильно. Причина обычно в том, что вычитают целую строку, но меняют знак не у каждого её слагаемого. Записывайте скобки и отдельно проверяйте коэффициент каждой переменной.

Нельзя делить уравнение на выражение, которое может оказаться нулём. Если такой случай не рассмотреть, можно потерять часть решений. Сначала установите, почему делитель ненулевой, либо выделите случай его равенства нулю.

Иногда после вычислений не выполняется одно из исходных равенств, но ошибка остаётся незамеченной. Её вызывают арифметическая неточность или неверная подстановка на промежуточном шаге. Полная проверка в исходной системе быстро показывает, где нарушено условие.

Связь с другими темами

До этой темы нужны навыки решения линейных уравнений и систем двух линейных уравнений. Также пригодятся преобразование равенств, раскрытие скобок и подстановка выражений. Эти действия составляют основу исключения неизвестных.

Для больших систем применяют матрицы, определители и метод Гаусса. Метод Гаусса организует те же действия в виде последовательного преобразования строк. Поэтому аккуратное решение систем помогает подготовиться к более общим алгебраическим методам.

Системы используют в математическом моделировании, когда несколько величин связаны одновременно. Например, с их помощью можно описывать расходы, скорости, смеси и другие задачи с несколькими неизвестными. Каждое уравнение тогда выражает отдельное условие реальной ситуации.

Что запомнить

• Решение системы должно одновременно удовлетворять каждому её уравнению.
• Систему с несколькими неизвестными удобно решать последовательным исключением неизвестных.
• Допустимые преобразования должны сохранять равносильность системы.
• После нахождения последней неизвестной остальные находят обратной подстановкой.
• Противоречие вида 0 = ненулевое число означает отсутствие решений.
• Свободная неизвестная обычно означает бесконечное множество решений.
• Найденное решение нужно проверить в исходной системе.