"Алгебра (в 3 частях)", Петерсон Л.Г., Агаханов Н.Х., Петрович А.Ю., Подлипский О.К., Рогатова М.В., Трушин Б.В.
Системы и совокупности линейных неравенств помогают описывать ситуации, в которых для числа заданы сразу несколько условий. В системе должны выполняться все условия, а в совокупности достаточно выполнить хотя бы одно. Поэтому после решения каждого неравенства отдельно в первом случае находят пересечение полученных промежутков, а во втором — их объединение. Чтобы не ошибиться, полезно изображать ответ на числовой прямой и внимательно проверять граничные точки.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Линейное неравенство с одной переменной — неравенство, которое после упрощения можно записать в виде ax + b < 0, ax + b ≤ 0, ax + b > 0 или ax + b ≥ 0. Здесь x — переменная, а a и b — числа. Например, 2x + 1 > 0 — линейное неравенство. Оно задаёт условие, которому должны соответствовать подходящие значения x.
Система неравенств — это несколько неравенств, которые должны выполняться одновременно. Её записывают одно под другим и объединяют фигурной скобкой. Такая запись напоминает, что требуется соблюсти каждое условие. Решение системы — число, подходящее всем её неравенствам.
Совокупность неравенств — это несколько неравенств, из которых достаточно выполнить хотя бы одно. Её обозначают квадратной скобкой. Такая запись нужна, когда условия могут быть альтернативными: числу достаточно попасть в решение одного из неравенств. Решение совокупности — число, подходящее хотя бы одному условию.
Решение системы или совокупности — значение переменной, которое удовлетворяет соответственно всем неравенствам системы или хотя бы одному неравенству совокупности. Это определение помогает понять, какие числа следует оставить в ответе после вычислений. Для системы проверяют выполнение каждого условия, а для совокупности — хотя бы одного. Найденное множество часто записывают промежутком.
Чтобы решить систему, сначала решают каждое неравенство отдельно. Затем находят общую часть полученных множеств решений, то есть пересечение. Это нужно потому, что число из ответа должно подходить всем условиям сразу. Например, если одно условие допускает числа левее 4, а другое — числа больше 1, останется участок, подходящий обоим.
Чтобы решить совокупность, также сначала решают каждое неравенство отдельно, но затем объединяют множества решений. Объединение включает числа, которые подходят хотя бы одному условию. Значит, не нужно требовать от числа выполнения всех неравенств одновременно. Если промежутки пересекаются, общую часть записывают один раз, а не рассматривают как отдельный ответ.
Решения удобно изображать на числовой прямой и записывать промежутками. При пересечении на прямой оставляют только общую часть отмеченных участков, а при объединении — все участки, покрытые хотя бы одной отметкой. Граничные точки могут входить в решение или не входить, поэтому их отмечают по знаку неравенства. Так рисунок помогает проверить запись ответа.
Каждое неравенство преобразуют по свойствам равносильных неравенств — таких преобразований, которые не меняют множество решений. При прибавлении или вычитании одного и того же числа знак сохраняется. При умножении или делении обеих частей на отрицательное число знак меняют на противоположный. Это связано с тем, что умножение на отрицательное число меняет порядок чисел на числовой прямой.
Если в условии несколько неравенств или несколько систем, действуют последовательно. Сначала получают решение каждого отдельного неравенства, затем пересекают результаты внутри каждой системы. Если системы объединены в совокупность, найденные решения систем объединяют. Такой порядок не даёт спутать, где требуется выполнить все условия, а где достаточно одного.
В таблице сопоставлены обозначения и действия, которые нужны при решении. Сначала определи по скобке, какая конструкция дана, затем выбери условие и нужную операцию с промежутками. На числовой прямой пересечение оставляет общую часть, а объединение сохраняет все подходящие участки.
| Свойство | Система неравенств | Совокупность неравенств |
|---|---|---|
| Как обозначают | Фигурной скобкой | Квадратной скобкой |
| Какое условие нужно выполнить | Все неравенства одновременно | Хотя бы одно неравенство |
| Как объединяют множества решений | Находят пересечение | Находят объединение |
| Как изображают на числовой прямой | Оставляют общие участки | Отмечают все участки решений |
| Пример словесного прочтения | «И первое, и второе условие» | «Первое или второе условие» |
Решим систему x > −2, x ≤ 3. Сначала найдём, какие числа допускает каждое неравенство, а потом оставим только числа, подходящие обоим условиям. Поскольку одно условие строгое, а другое нестрогое, отдельно проверим обе границы.
Из x > −2 получаем промежуток (−2; +∞). Число −2 не входит в него, потому что знак строгий. Луч направлен вправо, так как нужны числа больше −2.
Из x ≤ 3 получаем промежуток (−∞; 3]. Число 3 включено, поскольку знак нестрогий. Здесь подходят числа не больше 3.
Пересекаем промежутки: общая часть идёт от −2 до 3. Граница −2 не включается, а граница 3 включается. Ответ: x ∈ (−2; 3].
Теперь решим совокупность x < 0, x ≥ 2. Здесь достаточно выполнения одного неравенства, поэтому нужно объединить решения. Важно не искать общий участок: между двумя найденными промежутками общей части нет.
Решение x < 0 — промежуток (−∞; 0). Нуль не входит, так как неравенство строгое. Подходят числа левее нуля.
Решение x ≥ 2 — промежуток [2; +∞). Число 2 входит в ответ из-за знака «больше или равно». Подходят числа от 2 и дальше.
Объединяем промежутки, поскольку достаточно любого из двух условий. Между 0 и 2 чисел, подходящих хотя бы одному неравенству, нет. Ответ: x ∈ (−∞; 0) ∪ [2; +∞).
Решим совокупность двух систем: первая система — 2x − 1 ≤ 5 и x + 1 > 0; вторая — 3x + 2 < −1 и 2x ≤ 4. Сначала найдём общие решения внутри каждой системы, ведь её неравенства выполняются одновременно. Потом объединим ответы, потому что системы входят в совокупность.
В первой системе 2x − 1 ≤ 5 даёт x ≤ 3, а x + 1 > 0 даёт x > −1. Пересечение этих условий — (−1; 3]. Значит, первая система имеет решение x ∈ (−1; 3].
Во второй системе 3x + 2 < −1 даёт x < −1, а 2x ≤ 4 даёт x ≤ 2. Их пересечение — (−∞; −1), поскольку все числа меньше −1 также не больше 2. Значит, решение второй системы — x ∈ (−∞; −1).
Объединяем решения двух систем. Точка −1 не входит ни в один промежуток, но все числа левее неё входят, а справа от неё ответ продолжается до 3 включительно. Ответ: x ∈ (−∞; 3].
В системе иногда объединяют решения, хотя нужно оставить только значения, подходящие всем неравенствам. Так происходит, если ориентироваться на слово «несколько», не проверяя смысл фигурной скобки. Проверь себя подстановкой: выбранное число должно удовлетворять каждому условию системы. Если оно нарушает хотя бы одно, его нельзя включать в ответ.
В совокупности можно ошибочно искать пересечение, хотя достаточно выполнения хотя бы одного неравенства. Причина та же: путают смысл совокупности со смыслом системы. Для проверки возьми число, которое решает только одно неравенство: оно должно войти в ответ совокупности. На прямой при объединении сохраняют все отмеченные участки.
При умножении или делении на отрицательное число иногда забывают изменить знак неравенства. Из-за этого получают условие, противоположное правильному. Проверяй каждый такой шаг отдельно и помни, что порядок чисел меняется на обратный. Например, из −2x > 6 следует x < −3, а не x > −3.
Граничную точку можно отметить неверно, перепутав строгие знаки < и > с нестрогими ≤ и ≥. Это часто случается, когда на прямой отмечают только направление луча и забывают о самой границе. Сверь запись с условием: при строгом знаке точка пустая и не входит в промежуток, при нестрогом — закрашенная и входит. В ответе это соответствует круглой или квадратной скобке.
Чтобы решать системы и совокупности, нужно уметь преобразовывать линейные неравенства и изображать их решения на числовой прямой. Здесь также используются пересечение и объединение множеств, а промежутки помогают кратко записывать ответы. Эти способы пригодятся, когда в задаче задано несколько ограничений сразу. Например, так можно описать значения, которые удовлетворяют нескольким условиям задачи.
Чем система неравенств отличается от совокупности?
В системе все неравенства должны выполняться одновременно. В совокупности достаточно, чтобы выполнялось хотя бы одно. Поэтому для системы пересекают решения, а для совокупности объединяют.
Почему для системы нужно находить пересечение решений?
Число является решением системы только тогда, когда подходит каждому её неравенству. Пересечение оставляет именно те числа, которые входят во все множества решений сразу.
Почему для совокупности нужно объединять решения?
В совокупности достаточно выполнить хотя бы одно условие. Объединение включает все числа, которые подходят хотя бы одному из неравенств.
Как правильно отметить граничную точку на числовой прямой?
При строгом знаке < или > точку не включают и отмечают пустым кружком. При нестрогом знаке ≤ или ≥ точку включают и отмечают закрашенным кружком.
Что делать со знаком неравенства при делении на отрицательное число?
Знак нужно заменить на противоположный: < на >, ≤ на ≥ и наоборот. Это правило действует и при умножении на отрицательное число.
§ 2. Системы и совокупности линейных неравенств
