2.2.1. Системы и совокупности линейных неравенств с одним неизвестным

Определения и обозначения

Линейное неравенство с одним неизвестным — неравенство вида ax + b > 0 или с другим знаком сравнения, где a и b — числа, а неизвестное x входит в первой степени. Если a = 0, x исчезает из выражения и остаётся утверждение только о числах, поэтому такое условие не считают линейным неравенством с неизвестным в обычном смысле. Это определение помогает отличать задачи, в которых нужно найти подходящие значения переменной.

Система неравенств — несколько неравенств, которые должны выполняться одновременно. Решение системы обязано удовлетворять каждому её условию, а не только одному из них. Такая запись нужна, когда значение неизвестного должно соответствовать сразу нескольким ограничениям.

Совокупность неравенств — несколько неравенств, из которых достаточно выполнить хотя бы одно. Значит, значение неизвестного может подойти одному условию, другому или нескольким сразу. Совокупность используют, когда допустимы разные варианты выполнения условия.

Решение системы или совокупности — значение неизвестного, при котором выполняются соответственно все неравенства системы или хотя бы одно неравенство совокупности. Решением может быть одно число, несколько чисел или целый промежуток. Это понятие позволяет проверить, подходит ли найденное значение к исходной записи.

Как это устроено

Каждое линейное неравенство сначала решают отдельно, как обычное неравенство с одной переменной. Преобразования приводят его к одному из видов: x > a, x ≥ a, x < a или x ≤ a. Такой вид сразу показывает, какие числа подходят, поэтому ответ удобно изобразить промежутком на числовой прямой. При делении на отрицательное число знак сравнения нужно поменять на противоположный, иначе множество решений изменится.

В системе условия связывает смысл «и»: значение должно подходить первому неравенству и второму, и каждому следующему. Поэтому из отдельных промежутков оставляют только числа, которые есть в каждом из них. В математике такое множество называют пересечением. Например, если один промежуток требует x быть больше 1, а другой — не больше 4, общими будут числа между этими границами с учётом их включения.

В совокупности действует смысл «или»: достаточно, чтобы значение удовлетворяло хотя бы одному неравенству. Поэтому решение включает числа из первого промежутка, из второго и из всех остальных, если они есть. Такое объединение может состоять из одного непрерывного промежутка или из нескольких отдельных частей. Именно логическая связка определяет, нужно искать общую часть или собирать все подходящие значения.

Общий способ решения начинается с того, что каждое неравенство решают отдельно и записывают его промежуток. Затем все промежутки отмечают на одной числовой прямой: открытая точка обозначает невключённую границу, закрашенная — включённую. Для системы находят участок, общий для всех условий, а для совокупности объединяют участки, подходящие хотя бы одному условию. Такая схема помогает не перепутать действия даже при большом числе неравенств.

Итог можно записать промежутком, неравенством или словами, например «все числа больше 2». Запись выбирают так, чтобы было ясно, входят ли граничные точки. Если общих значений для системы нет, пишут ∅ — пустое множество. Проверка границ особенно полезна: подстановка граничного числа в исходные условия подтверждает, должно ли оно входить в ответ.

Система и совокупность неравенств

Пользуйся таблицей, чтобы сначала определить логическую связку в задаче, а затем выбрать пересечение или объединение. После этого проверь границы: их включение зависит от строгого или нестрогого знака. Для системы отсутствие общей части означает пустое множество решений.

Разбор задач

Задача 1. Решить систему x > 1 и x ≤ 4. Оба условия должны выполняться одновременно, поэтому нам нужны только числа, которые принадлежат обоим промежуткам. Сначала найдём каждый промежуток отдельно, а затем сравним их границы.

1. Из x > 1 получаем промежуток (1; +∞). Число 1 не подходит, потому что неравенство строгое.
2. Из x ≤ 4 получаем промежуток (−∞; 4]. Число 4 подходит, так как неравенство нестрогое.
3. Пересекаем промежутки: подходят числа больше 1 и одновременно не больше 4.

Ответ: x ∈ (1; 4]. Граница 1 не включена, а граница 4 включена, что соответствует знакам исходной системы.

Задача 2. Решить совокупность x < −2 и x ≥ 3. Здесь достаточно выполнения одного из двух условий, значит, ищем объединение промежутков, а не их общую часть. Такая проверка смысла связки важнее, чем внешнее сходство записи с системой.

1. Решение первого неравенства — (−∞; −2), поскольку −2 не входит в него при строгом знаке <.
2. Решение второго неравенства — [3; +∞), поскольку знак ≥ включает число 3.
3. Объединяем оба промежутка: подходят все числа из первого или второго участка.

Ответ: x ∈ (−∞; −2) ∪ [3; +∞). Между −2 и 3 решений нет, но оба внешних участка входят в совокупность.

Задача 3. Решить систему 2x − 1 ≥ 3 и 3x + 2 < 11. Сначала нужно привести каждое условие к промежутку для x, не забывая сохранять или менять знак при преобразованиях. После этого найдём общие значения и отдельно проверим границы.

1. Решаем первое неравенство: 2x − 1 ≥ 3, значит 2x ≥ 4 и x ≥ 2.
2. Решаем второе: 3x + 2 < 11, значит 3x < 9 и x < 3.
3. Пересекаем [2; +∞) и (−∞; 3): остаются значения от 2 включительно до 3 не включительно.
4. Проверяем границы: x = 2 удовлетворяет обоим условиям, а x = 3 не удовлетворяет второму.

Ответ: x ∈ [2; 3). Проверка границ подтверждает, что число 2 включается, а число 3 — нет.

Типичные ошибки

Для системы иногда берут объединение промежутков, хотя нужно оставить только значения, подходящие всем неравенствам. Такую ошибку допускают, если не обращают внимания на смысл условия «одновременно». Проверь себя: выбери число из ответа и подставь его в каждое неравенство системы; если хотя бы одно не выполняется, ответ неверен.

Для совокупности могут искать пересечение и тем самым отбросить числа, которые подходят только одному условию. Причина та же: слова «хотя бы одно» путают с требованием выполнить всё сразу. Чтобы проверить результат, возьми число из каждого отдельного промежутка и убедись, что оно удовлетворяет хотя бы одному неравенству совокупности.

Ещё одна ошибка — неверно включить граничную точку. При строгом знаке > или < граница не входит, а при нестрогом ≥ или ≤ входит; путаница часто появляется, когда промежуток записывают по памяти. Сверь каждый край с исходным знаком и, если сомневаешься, подставь граничное значение в неравенство.

После решения каждого неравенства в системе иногда забывают проверить, совместимы ли условия. Если промежутки не пересекаются, нельзя записывать их по отдельности как ответ системы: общих решений нет. Отметь промежутки на одной числовой прямой и посмотри, остаётся ли общий участок; если нет, запиши ∅.

Связь с другими темами

Для решения систем и совокупностей сначала нужно уметь решать линейные неравенства с одним неизвестным. Особенно важно помнить: при умножении или делении на отрицательное число знак неравенства меняется. Также понадобятся запись числовых промежутков и их изображение на числовой прямой, чтобы наглядно находить пересечение и объединение. Эти способы пригодятся в более сложных неравенствах, задачах с несколькими условиями и системах уравнений и неравенств.

Что запомнить

• В системе должны выполняться все неравенства.
• В совокупности достаточно выполнить хотя бы одно неравенство.
• Решение системы — пересечение множеств решений её неравенств.
• Решение совокупности — объединение множеств решений её неравенств.
• Строгое неравенство не включает граничную точку.
• Нестрогое неравенство включает граничную точку.