"Алгебра (в 3 частях)", Петерсон Л.Г., Агаханов Н.Х., Петрович А.Ю., Подлипский О.К., Рогатова М.В., Трушин Б.В.
Система линейных неравенств с модулями требует найти все значения неизвестного, при которых одновременно выполняются несколько условий. Основной приём — заменить каждое неравенство с модулем равносильной записью, учитывая знак правой части, а затем пересечь полученные множества решений. Модуль удобно понимать как расстояние на координатной прямой: это помогает не путать один промежуток с двумя внешними.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Модуль выражения — неотрицательное значение выражения, равное расстоянию от его значения до нуля. Например, |−5| = 5 и |5| = 5. Это определение помогает понимать модуль геометрически и правильно сравнивать его с числом.
Линейное неравенство с модулем — неравенство, в котором под знаком модуля находится линейное выражение с неизвестным, например |2x − 3| < 5. Линейным выражение называют потому, что неизвестная не возводится в степень и не перемножается сама с собой. Такие неравенства решают через правила сравнения расстояний.
Система линейных неравенств с одним неизвестным с модулями — несколько неравенств, которые должны выполняться одновременно. Их записывают друг под другом и объединяют фигурной скобкой. Каждое условие ограничивает допустимые значения x.
Решение системы — каждое значение неизвестного, удовлетворяющее всем неравенствам системы. Поэтому недостаточно решить только одно условие. Нужно найти общую часть всех полученных промежутков.
Модуль |A| можно представить как расстояние от точки с координатой A до нуля на координатной прямой. Поэтому условие |A| < b означает: расстояние меньше b, и точка должна лежать внутри промежутка между −b и b. Если расстояние не больше b, границы тоже разрешены, поэтому получается −b ≤ A ≤ b.
При положительном b неравенство |A| < b равносильно двойному неравенству −b < A < b. Здесь A одновременно больше −b и меньше b. Аналогично, |A| ≤ b превращается в −b ≤ A ≤ b, потому что точки на расстоянии ровно b включаются в решение.
Знаки > и ≥ описывают расстояния за пределами отрезка. Условие |A| > b выполняется, если A < −b или A > b, а при |A| ≥ b добавляются граничные точки: A ≤ −b или A ≥ b. Союз «или» показывает, что ответ состоит из двух внешних промежутков.
Перед применением этих правил нужно проверить правую часть. Если b = 0, то |A| < 0 невозможно, |A| ≤ 0 означает A = 0, |A| > 0 означает A ≠ 0, а |A| ≥ 0 верно всегда. При b < 0 модуль не может быть меньше или равен b, зато всегда больше или равен отрицательному числу.
В системе условия действуют одновременно, поэтому её решение получают пересечением отдельных решений. На прямой остаётся только общая часть промежутков. Строгая граница не входит в ответ, а нестрогая входит, если она разрешена всеми условиями.
| Вид неравенства | Условие на b | Равносильная запись | Геометрический смысл |
|---|---|---|---|
| |A| < b | b > 0 | −b < A < b | Внутри отрезка (−b; b) |
| |A| ≤ b | b > 0 | −b ≤ A ≤ b | Внутри отрезка [−b; b] |
| |A| > b | b > 0 | A < −b или A > b | Внешние промежутки (−∞; −b) и (b; +∞) |
| |A| ≥ b | b > 0 | A ≤ −b или A ≥ b | Внешние промежутки с границами |
| Особые случаи b = 0 и b < 0 | Проверить отдельно | При b = 0: |A| < 0 — нет решений, |A| ≤ 0: A = 0, |A| > 0: A ≠ 0, |A| ≥ 0 — все A; при b < 0: < и ≤ невозможны, > и ≥ верны всегда | Решение определяется не промежутком, а возможностью условия |
Сначала определи знак правой части и выбери нужную строку. Затем реши получившиеся линейные неравенства и изобрази промежутки на прямой. Для системы после этого обязательно оставь только их общую часть.
Решим систему |2x − 3| < 5, x ≥ 0. Правая часть первого неравенства положительна, поэтому можно использовать двойное неравенство. Второе условие затем ограничит уже найденный промежуток.
Ответ: x ∈ [0; 4). Граница 0 включена из-за знака ≥. Точка 4 не входит, потому что первое неравенство строгое.
Решим систему |3x + 1| ≥ 7, |x − 4| ≤ 2. Первое условие даст два внешних промежутка, а второе — один отрезок. Затем пересечём каждый внешний промежуток с отрезком и объединим подходящие части.
Ответ: x ∈ [2; 6]. Обе границы входят, поскольку в обоих исходных условиях стоят нестрогие знаки. Отрицательная ветвь первого неравенства не пересекается со вторым отрезком.
Решим систему |x − 1| ≤ 2x + 1, |2x − 3| < x + 3. Здесь правые части зависят от x, поэтому сначала нужно учитывать их знак. Удобно раскрыть модули по случаям, сравнивая выражение под модулем с нулём.
Ответ: x ∈ (0; 6). Ноль исключён вторым строгим неравенством. Число 6 также не входит в ответ по той же причине.
Модуль раскрывают без учёта знака выражения под ним. Например, |A| нельзя всегда заменять просто на A: при A < 0 нужно писать |A| = −A. Проверь себя: раздели прямую на случаи A ≥ 0 и A < 0.
Иногда |A| > b ошибочно заменяют двойным неравенством −b < A < b. Такое правило относится к знакам < и ≤, а при большем расстоянии точка находится снаружи. Проверь ответ рисунком: должны получиться два внешних промежутка.
Можно забыть проверить знак правой части. Если она отрицательна, стандартные правила для положительного b применять нельзя. Сначала сравни правую часть с нулём и реши, возможен ли вообще такой модуль.
При решении системы иногда объединяют решения отдельных неравенств. Но слово «система» означает одновременное выполнение условий, поэтому нужна общая часть. Проверь себя, проведя на прямой все промежутки и выделив только их пересечение.
До этой темы нужно знать определение модуля, уметь раскрывать его по знаку выражения, решать линейные неравенства и изображать промежутки на координатной прямой. Эти навыки используются в каждом преобразовании. Без них легко потерять границу или выбрать неверный случай.
Такие системы пригодятся при решении неравенств с параметрами и выражений, содержащих несколько модулей. В более сложных задачах сохраняется тот же порядок: разбить на случаи, решить линейные условия и пересечь ответы. Меняется только количество случаев.
Геометрическое понимание модуля связано с задачами о расстоянии на координатной прямой. Запись |x − a| показывает расстояние от точки x до точки a. Поэтому многие неравенства с модулями можно решать как задачи о положении точки относительно центра и заданного расстояния.
Почему |A| < b превращается именно в двойное неравенство?
Модуль показывает расстояние от значения A до нуля. Если это расстояние меньше b, то A находится между −b и b, поэтому −b < A < b.
Что делать, если правая часть неравенства с модулем отрицательна?
Сначала нужно сравнить правую часть с нулём, потому что модуль не бывает отрицательным. Например, |A| < −2 невозможно, а |A| > −2 выполняется при любом A.
Чем отличаются знаки < и ≤ при изображении решения?
Знак < исключает граничную точку, поэтому на прямой она обозначается пустой точкой. Знак ≤ включает границу, и точка изображается закрашенной.
Почему при знаках > и ≥ получается объединение промежутков?
Расстояние от нуля больше b, когда точка находится либо левее −b, либо правее b. Это два возможных случая, поэтому решения объединяются, а не пересекаются.
Как правильно найти пересечение решений нескольких неравенств?
Нужно выписать решение каждого неравенства и оставить только общую часть промежутков. Граничная точка входит в ответ лишь тогда, когда она разрешена всеми условиями.
2.2.2.* Системы линейных неравенств с одним неизвестным с модулями
