2.2.3. Линейные неравенства с двумя неизвестными и их системы. Графическое изображение множества их решений

Определения и обозначения

Линейное неравенство с двумя неизвестными — неравенство вида ax + by > c, ax + by < c, ax + by ≥ c или ax + by ≤ c, где x и y — неизвестные, а коэффициенты a, b и свободный член c — числа. Например, 2x + y ≤ 5 имеет такой вид. Это обозначение помогает распознавать задачи, в которых нужно найти не одну неизвестную, а подходящие пары чисел.

Решение линейного неравенства с двумя неизвестными — упорядоченная пара чисел (x; y), при подстановке которой неравенство становится верным. Например, пара (1; 2) подходит к неравенству 2x + y ≤ 5, потому что 2 · 1 + 2 ≤ 5. Порядок координат важен: сначала указывают x, затем y.

Множество решений неравенства — все точки координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют этому неравенству. Каждой паре чисел соответствует точка, поэтому множество решений можно изобразить областью на чертеже. Такое изображение позволяет увидеть сразу все подходящие пары.

Система линейных неравенств с двумя неизвестными — несколько таких неравенств, которые должны выполняться одновременно. Её решением является пара чисел, удовлетворяющая каждому неравенству системы. Это определение подсказывает, что при графическом решении нужно искать общую область, а не соединять отдельные области.

Как это устроено

Чтобы понять, почему граница решений — прямая, заменим знак неравенства на равенство: ax + by = c. Все точки этой прямой дают равенство, а по разные стороны от неё выражение ax + by принимает значения по разные стороны от c. Поэтому прямая разделяет плоскость на две области: в одной неравенство верно, в другой — нет. Здесь предполагается, что коэффициенты при x и y ненулевые, как в обычном случае построения такой границы.

Нельзя надёжно определить нужную сторону только по знаку неравенства: расположение зависит от коэффициентов и от того, как записано уравнение. Выбери точку, не лежащую на прямой, и подставь её координаты в исходное неравенство. Если получилось верное утверждение, точка находится в нужной полуплоскости, и её сторону следует выделить. Если получилось неверное утверждение, решения находятся по другую сторону.

Граничная прямая состоит из точек, для которых ax + by = c. При знаках ≥ и ≤ равенство тоже удовлетворяет неравенству, поэтому вся граница входит в решение. При знаках > и < равенство не подходит: требуются значения строго больше или строго меньше c. На чертеже это различие показывают сплошной линией для включённой границы и пунктирной для невключённой.

В системе каждое неравенство задаёт свою полуплоскость, а все условия должны выполняться одновременно. Поэтому сначала строят граничные прямые и определяют подходящую сторону для каждой из них, а затем выделяют только общую часть областей. Если точка находится в общей части, она подходит ко всем условиям; если хотя бы одно условие нарушено, точка не является решением системы.

Проверить рисунок можно подстановкой координат любой точки из выделенной области в каждое неравенство. Все полученные утверждения должны быть верными, а для строгого неравенства точка не должна лежать на соответствующей границе. Удобно выбирать точку с простыми координатами, например (0; 0), если она не лежит на построенных прямых. Такая проверка помогает заметить неверно выбранную сторону или неправильно учтённую границу.

Как изображать решения линейного неравенства

Таблица показывает, какую прямую строить и как учитывать её на рисунке. В каждом случае сторону полуплоскости всё равно определяют подстановкой координат пробной точки: знак сам по себе не указывает, где именно закрашивать. Сравни также знак неравенства и вид линии, чтобы правильно включить или исключить границу.

Разбор задач

Задача 1. Изобразить множество решений неравенства y > x − 1.

1. Сначала заменим знак неравенства равенством: получим граничную прямую y = x − 1. Для построения можно взять две точки: при x = 0 получаем y = −1, а при x = 1 получаем y = 0.
2. Поскольку знак строгий, проведём прямую пунктиром: её точки не являются решениями. Чтобы найти нужную сторону, проверим точку (0; 0), которая не лежит на границе.
3. Подстановка даёт 0 > 0 − 1, то есть 0 > −1 — верное утверждение. Значит, нужно выделить полуплоскость с точкой (0; 0).

Ответ: полуплоскость над прямой y = x − 1, не включая саму прямую.

Задача 2. Изобразить множество решений системы y ≥ 0, x + y ≤ 4.

1. Построим границы: y = 0 — ось x, а x + y = 4 — прямая, проходящая через точки (4; 0) и (0; 4). Оба знака нестрогие, поэтому обе границы проводим сплошными.
2. Из y ≥ 0 следует, что подходят точки на оси x и выше неё. Для второго неравенства проверим (0; 0): получаем 0 + 0 ≤ 4, это верно, значит, берём сторону прямой с началом координат.
3. Оставляем общую часть выбранных полуплоскостей. Она расположена над осью x и ниже прямой x + y = 4; обе прямые включены.

Ответ: область y ≥ 0, x + y ≤ 4, включая её граничные линии.

Задача 3. Найти и изобразить множество решений системы x + y > 2, y ≤ 2x, x ≥ 0.

1. Построим границы: x + y = 2, y = 2x и x = 0. Первое неравенство строгое — его прямую рисуем пунктиром; две остальные границы включены, поэтому они сплошные.
2. Для x + y > 2 перепишем условие как y > 2 − x. Точка (0; 0) не подходит, потому что 0 > 2 неверно, значит, выбираем сторону выше прямой. Для y ≤ 2x точка (0; 0) подходит, поэтому берём сторону ниже прямой y = 2x.
3. Условие x ≥ 0 задаёт правую полуплоскость от оси y, включая саму ось. Пересекаем все три области: между прямыми y = 2 − x и y = 2x возможно оказаться только при x > 2/3. Равенство x = 2/3 не подходит, поскольку тогда первые две границы пересекаются, а строгое условие исключает эту точку.

Ответ: область справа от оси y, выше y = 2 − x и не выше y = 2x; границы y = 2x и x = 0 включены там, где подходят, а прямая x + y = 2 исключена.

Типичные ошибки

Выбирать полуплоскость только по виду знака — ненадёжно: легко перепутать сторону прямой, особенно если она наклонена. Так происходит, когда рисунок пытаются угадать без проверки. Подставь координаты пробной точки в исходное неравенство и проверь, верно ли оно.

Сплошная линия при строгом неравенстве ошибочно добавляет в ответ точки границы, а пунктирная при нестрогом их исключает. Эту ошибку допускают, если не связывают знак с равенством на граничной прямой. Проверь себя вопросом: удовлетворяют ли точки границы исходному неравенству?

Объединение полуплоскостей означает, что достаточно попасть хотя бы в одну из них, но система требует выполнения всех условий сразу. Путаница возникает из-за того, что отдельные области сначала рассматривают по одной. Для проверки выбери точку из предполагаемого ответа и подставь её координаты во все неравенства.

При подстановке или построении иногда меняют местами x и y: пара (x; y) задаёт сначала абсциссу, затем ординату. Из-за этого точка попадает не туда или проверяется другое значение выражения. Подпиши координаты в порядке (x; y) и отдельно сверь, какое число подставлено вместо каждой переменной.

Связь с другими темами

Для построения границы нужно уметь строить график линейного уравнения с двумя переменными и находить точки на координатной плоскости. При проверке точки используются свойства числовых неравенств и умение выполнять равносильные преобразования. Эти знания помогают понять, почему пробная точка подходит или не подходит к выбранной области.

Графический способ пригодится при исследовании систем неравенств и решении задач, где на переменные наложены ограничения. Например, область допустимых значений может описывать несколько условий, которые должны выполняться одновременно. На рисунке сразу видно, какие пары переменных подходят всем условиям.

Что запомнить

• Граница решения линейного неравенства задаётся соответствующим линейным уравнением.
• Граница делит плоскость на две полуплоскости.
• Нужную полуплоскость определяют проверкой пробной точки.
• При строгом неравенстве граничная прямая не входит в решение.
• При нестрогом неравенстве граничная прямая входит в решение.
• Решение системы — общая часть множеств решений всех её неравенств.