2.2.4.* Системы линейных неравенств с двумя неизвестными с модулями

Определения и обозначения

Модуль выражения — его расстояние от нуля: |A| = A, если A ≥ 0, и |A| = −A, если A < 0. Например, |−5| = 5, потому что расстояние не бывает отрицательным. Это правило нужно, чтобы заменять запись с модулем обычными выражениями, когда известен знак A.

Линейное неравенство с двумя неизвестными — неравенство вида ax + by + c > 0 или с другими знаками сравнения, где a, b, c — числа, а x и y — неизвестные. Например, 2x − y ≤ 4 задаёт условие для пары чисел (x; y). Такие неравенства удобно изображать на координатной плоскости.

Система линейных неравенств с двумя неизвестными — несколько неравенств, которые должны выполняться одновременно. Её решением является пара значений x и y, подходящая каждому условию системы. Это определение помогает не спутать выполнение одного неравенства с выполнением всей системы.

Область решений — множество точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют системе. Например, если подходит каждая точка некоторой части плоскости, эту часть и называют областью решений. Такое изображение позволяет увидеть сразу все пары чисел, являющиеся ответом.

Как это устроено

Выражение ax + by + c меняет знак при переходе через прямую ax + by + c = 0. Поэтому знак модуля этого выражения связан с тем, по какую сторону от прямой находится точка. Условие с модулем задаёт полосу между двумя прямыми уровня либо две области снаружи этой полосы; сами прямые получаются из равенств ax + by + c = a и ax + by + c = −a.

Если |A| < a, где a > 0, то значение A должно находиться ближе к нулю, чем число a. Это означает, что A больше −a и меньше a, то есть −a < A < a. При условии |A| ≤ a крайние значения тоже разрешены, поэтому запись становится −a ≤ A ≤ a; геометрически точки между двумя граничными прямыми образуют полосу.

Для |A| > a нужно искать значения, удалённые от нуля больше чем на a. Они лежат либо правее a на числовой прямой, либо левее −a, поэтому получаются два условия: A > a или A < −a. На плоскости это две области по разные стороны от полосы; при |A| ≥ a их границы также входят в ответ.

Чтобы построить решение системы, сначала находят область каждого неравенства, а затем оставляют только точки, попавшие во все области. Это пересечение, потому что система требует одновременного выполнения условий, а не выполнения хотя бы одного из них. Если знак строгий, граничную прямую проводят пунктиром и не включают; если нестрогий — сплошной линией и включают.

Когда в системе несколько модулей, для каждого выражения определяют, где оно неотрицательно и где отрицательно, либо используют правила для сравнения модуля с положительным числом. Так возникают отдельные случаи; в каждом раскрывают модули с учётом знака и решают полученные неравенства. Затем проверяют, какие точки удовлетворяют всем условиям системы, и объединяют подходящие части от разных случаев.

Как раскрываются неравенства с модулем

Сначала выбери строку по знаку сравнения, а затем подставь вместо A выражение под модулем. Слова «или» означают, что подходят обе внешние области, а двойное неравенство задаёт промежуток между границами. Условия с ≤ и ≥ включают границы, а строгие условия их исключают.

Разбор задач

Задача 1. Решить систему |x| ≤ 2, y ≥ 0. Модуль ограничивает координату x, а второе условие оставляет точки выше оси Ox. Область ответа должна удовлетворять обоим ограничениям сразу.

1. Из |x| ≤ 2 получаем −2 ≤ x ≤ 2: абсцисса точки находится между −2 и 2.
2. Условие y ≥ 0 означает, что точка лежит на оси Ox или выше неё.
3. Оставляем общую часть: вертикальную полосу −2 ≤ x ≤ 2 в верхней полуплоскости.

Ответ: все точки, для которых −2 ≤ x ≤ 2 и y ≥ 0, включая граничные прямые x = −2, x = 2 и y = 0.

Задача 2. Решить систему |x + y| < 3, x − y ≥ 0. Первое условие задаёт полосу относительно прямых x + y = −3 и x + y = 3. Второе выбирает одну полуплоскость, поэтому нужно найти пересечение этой полосы с ней.

1. Раскрываем модуль: −3 < x + y < 3. Границы полосы не входят, так как исходное неравенство строгое.
2. Переписываем второе условие как y ≤ x. Оно включает прямую y = x, потому что знак неравенства нестрогий.
3. На плоскости оставляем точки внутри полосы, лежащие на прямой y = x или ниже неё.

Ответ: область, заданная условиями −3 < x + y < 3 и y ≤ x; прямые x + y = ±3 не входят, а прямая y = x входит в пределах этой области.

Задача 3. Решить систему |2x − y| ≥ 2, |x + y| ≤ 4. Первое условие даёт две внешние области, а второе — полосу. Решение получится из пересечений полосы с каждой из внешних областей.

1. Раскрываем первое условие по двум случаям: 2x − y ≥ 2 или 2x − y ≤ −2.
2. Второе условие заменяем двойным: −4 ≤ x + y ≤ 4. Прямые-границы этой полосы входят в неё.
3. В первом случае берём часть полосы, где 2x − y ≥ 2; во втором — часть, где 2x − y ≤ −2.
4. Объединяем полученные части, поскольку для первого условия достаточно выполнения одного из двух случаев, и проверяем, что в обеих выполнено второе.

Ответ: объединение областей, заданных системами 2x − y ≥ 2, −4 ≤ x + y ≤ 4 и 2x − y ≤ −2, −4 ≤ x + y ≤ 4. Все границы этих областей входят в ответ.

Типичные ошибки

• Иногда |A| > a ошибочно заменяют двойным неравенством −a < A < a. Так описывают значения внутри промежутка, а не дальше от нуля; вероятно, путают знаки «больше» и «меньше». Для проверки подставь A = 0: оно не должно подходить при a > 0, и запиши два случая A > a или A < −a.

• При раскрытии модуля можно забыть один из случаев или неверно изменить знак выражения. Это часто происходит, когда модуль воспринимают как знак, который просто убирают. Раздели значения A на неотрицательные и отрицательные: во втором случае |A| = −A, и при умножении неравенства на отрицательное число знак сравнения меняется.

• Решением системы иногда считают объединение областей каждого неравенства. Но объединение оставляет точки, подходящие лишь одному условию, а система требует выполнить их все. Проверь выбранную точку подстановкой во все неравенства: если хотя бы одно неверно, точка не является решением.

• Ещё одна ошибка — включать границу при строгом знаке или исключать её при нестрогом. Граница соответствует равенству, а значит при < или > она не подходит, зато при ≤ или ≥ подходит. Проверка проста: подставь координаты точки прямой в исходное неравенство.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно уметь находить модуль числа и выражения, решать линейные неравенства и изображать их решения на координатной плоскости. Она опирается на представление линейного неравенства с двумя неизвестными как полуплоскости, ограниченной прямой. Эти приёмы пригодятся при решении других систем неравенств и задач на координатную плоскость. Тот же подход можно применять, когда вместо простого линейного выражения под модулем встречается более сложное.

Что запомнить

• При a > 0 условие |A| ≤ a равносильно −a ≤ A ≤ a.
• При a > 0 условие |A| < a равносильно −a < A < a.
• Условия |A| > a и |A| ≥ a разбиваются на два случая.
• Решение системы — общая часть областей решений всех её неравенств.
• Строгое неравенство не включает граничную прямую.
• Для каждого случая раскрытия модуля нужно проверить выполнение всей системы.