§ 1. Классическое определение вероятностей

Определения и обозначения

Случайный опыт — действие, результат которого заранее неизвестен, но возможные результаты перечислить можно. Например, бросок кубика является опытом: заранее неизвестно, какое число выпадет. Это понятие задаёт ситуацию, для которой мы будем оценивать вероятность.

Элементарный исход — один из возможных результатов опыта, который в рамках задачи нельзя разделить на более простые результаты. При броске кубика это выпадение конкретного числа, а не просто чётного результата. Такие исходы составляют полный список вариантов.

Равновозможные исходы — исходы, имеющие одинаковые шансы наступить. У честного кубика выпадение каждой грани равновероятно. Это условие нужно для того, чтобы сравнивать исходы простым подсчётом.

Классическая вероятность события — отношение числа благоприятных исходов к числу всех равновозможных элементарных исходов. Событие обозначают буквой A, число всех исходов — n, а благоприятных — m. Тогда вероятность находят по формуле P(A) = m/n.

Как это устроено

Сначала задают множество всех элементарных исходов: перечисляют результаты так, чтобы ни один не пропустить и не записать дважды. Затем проверяют, что список конечен и каждый его элемент является отдельным исходом. Например, для одного честного кубика множество можно записать так: {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Такая запись защищает от двойного подсчёта и показывает, что n = 6.

Классическая формула работает только при равновозможности исходов, потому что она сравнивает их количества. Если каждый исход имеет одинаковый шанс, то доля подходящих исходов действительно показывает шанс события. Если один исход встречается чаще другого, простое отношение m к n уже не отражает реальную вероятность. Например, для нечестного кубика нужно знать не только число граней, но и вероятности их выпадения.

После составления полного списка отмечают исходы, при которых событие A происходит. Их называют благоприятными, хотя это не означает, что они обязательно наступят. Число таких исходов обозначают буквой m, а общее число исходов — буквой n. Главное — считать каждый исход ровно один раз и использовать один и тот же способ представления всех вариантов.

Если событию A благоприятствуют m исходов из n возможных, получают формулу P(A) = m/n. Поскольку m неотрицательно и не превосходит n, дробь не может быть меньше 0 или больше 1. Значение 0 означает невозможное событие, а значение 1 — событие, которое происходит при любом исходе. Остальные значения показывают долю подходящих вариантов.

Иногда перечень благоприятных исходов получается длинным, зато легко найти те, при которых событие не происходит. Это противоположное событие обозначают как не A. Все исходы делятся на две непересекающиеся группы, поэтому P(A) + P(не A) = 1. Отсюда удобно использовать формулу P(A) = 1 − P(не A).

Элементы классического определения вероятности

Таблицу удобно читать сверху вниз: сначала составляют полный список, затем находят n и m. После этого подставляют числа в формулу P(A) = m/n. В конце проверьте, что полученная дробь находится между 0 и 1.

Разбор задач

Задача 1

Условие: игральный кубик бросают один раз. Нужно найти вероятность выпадения чётного числа. У кубика шесть граней, и для честного кубика все результаты равновозможны.

1. Запишем все исходы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, поэтому n = 6.
2. Чётными являются 2, 4 и 6, значит, m = 3.
3. Подставим числа: P(A) = 3/6 = 1/2.

Ответ: 1/2. Это означает, что половина равновозможных исходов приводит к выпадению чётного числа.

Задача 2

Условие: два кубика бросают одновременно. Найдём вероятность суммы 8. Результат удобно записывать упорядоченной парой: первое число относится к первому кубику, второе — ко второму.

1. Всего получаем 6 · 6 = 36 пар, поэтому n = 36.
2. Сумму 8 дают пары (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2), то есть m = 5.
3. Вероятность равна P(A) = 5/36.

Ответ: 5/36. Пары (2; 6) и (6; 2) посчитаны отдельно, поскольку порядок результатов различается.

Задача 3

Условие: в коробке лежат 3 красных и 2 синих шара. Наугад выбирают 2 шара без возвращения. Нужно найти вероятность того, что среди выбранных будет хотя бы один красный.

1. Проще найти противоположное событие: выбрать два синих шара. Всего пар из 5 шаров — 10, а синих пар — 1.
2. Значит, P(два синих) = 1/10.
3. Тогда P(хотя бы один красный) = 1 − 1/10 = 9/10.

Ответ: 9/10. Мы использовали противоположное событие, потому что выбрать единственную пару синих шаров проще, чем перечислять все пары с красным шаром.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Формулу применяют, не проверив равновозможность исходов. Так происходит, когда ученик считает только варианты, но забывает, что честность кубика или случайность выбора должны следовать из условия. Проверьте, одинаковы ли шансы у всех исходов.

Ошибка 2. Ученик находит m и записывает его как вероятность. Число благоприятных исходов — это только числитель, поэтому его обязательно делят на общее число n. Проверьте, появилась ли в записи дробь m/n.

Ошибка 3. При двух действиях разные порядки иногда считают одним исходом. Например, пары (2; 6) и (6; 2) различаются, если кубики различимы по месту. Запишите результат каждого действия на своей позиции и сравните число всех пар.

Ошибка 4. Полученная вероятность оказывается больше 1 или меньше 0. Обычно это означает, что благоприятных исходов насчитали больше, чем всех, или допустили ошибку в вычислениях. Проверьте неравенства 0 ≤ m ≤ n и границы итоговой дроби.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно уметь перечислять варианты, работать с дробями и применять правило умножения. Эти навыки помогают быстро находить общее число исходов, особенно при нескольких последовательных действиях. Например, для двух кубиков число пар равно 6 · 6.

Классическая вероятность тесно связана с комбинаторикой, потому что во многих задачах требуется подсчитать количество сочетаний или упорядоченных вариантов. Позже формулы вероятностей позволяют изучать свойства случайных событий и объединять результаты разных опытов. Поэтому аккуратный подсчёт исходов важен не меньше, чем арифметика.

Что запомнить

• Классическое определение относится к конечному числу равновозможных элементарных исходов.
• Вероятность события A вычисляют по формуле P(A) = m/n.
• n — число всех элементарных исходов, m — число исходов, благоприятных событию A.
• Каждый элементарный исход нужно учитывать ровно один раз.
• Вероятность достоверного события равна 1, а невозможного — 0.
• Для противоположного события выполняется P(не A) = 1 − P(A).