"Математика: алгебра и геометрия", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Геометрическая вероятность помогает оценить шанс случайного попадания точки в заданную часть отрезка, фигуры или тела. Для этого сравнивают меру подходящей области с мерой всей области: длины, площади или объёмы. Такой способ работает, если точку выбирают равномерно и область возможных положений имеет конечную ненулевую меру. Главное в задаче — правильно описать благоприятную область и измерить обе области одной и той же мерой.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Геометрическая вероятность — отношение меры области благоприятных исходов к мере всей области возможных исходов. Иными словами, она показывает, какую долю всех допустимых положений занимает событие. Это определение позволяет находить вероятность, даже когда точки нельзя перечислить по одной.
Равномерный выбор точки — выбор, при котором точки одинаковых по мере частей области имеют одинаковую вероятность быть выбранными. Например, на отрезке равные отрезки должны иметь равный шанс получить точку. Это условие нужно, чтобы долю меры можно было считать вероятностью.
Мера множества — величина, которой измеряют область: длина для отрезка, площадь для плоской фигуры, объём для тела. Выбор меры зависит от того, где именно может находиться точка. Понятие нужно, чтобы сравнить размер подходящей части с размером всей области.
Благоприятная область — часть области возможных исходов, попадание в которую означает наступление нужного события. Её границы определяются условием задачи, а не тем, какая фигура кажется удобной для вычисления. Если область выделена неверно, даже правильные вычисления дадут ответ не на тот вопрос.
Сначала задают область возможных положений точки, например отрезок, квадрат или прямоугольный параллелепипед. Затем указывают правило выбора: точка должна выбираться равномерно внутри этой области. Это важно, потому что без такой оговорки разные части могут получать разные шансы, даже если их меры равны. Поэтому при постановке опыта называют и место выбора, и способ выбора.
Отношение мер связано с вероятностью потому, что при равномерном выборе большие части занимают большую долю всех возможных положений. Если одна область имеет вдвое большую площадь, чем другая, то в неё приходится вдвое больше равноправных по площади мест для попадания. Отдельные точки считать не требуется: внутри непрерывной области их бесконечно много. Долю можно получить сравнением измеримых размеров.
Чтобы найти вероятность события, сначала переводят его условие в геометрическое описание. Затем выделяют все положения точки, при которых событие происходит, и находят меру этой части. Последний шаг — разделить найденную меру на меру области возможных исходов. Если благоприятная область распадается на несколько непересекающихся частей, их меры складывают.
Для отрезка используют длины, а для плоской фигуры — площади, потому что сравнивать нужно объекты одного типа. Так, при выборе точки из квадрата нельзя делить длину благоприятного отрезка на площадь квадрата: у этих величин разные единицы измерения. Для точки внутри тела сравнивают объёмы. Одинаковая размерность в числителе и знаменателе также помогает заметить ошибку в записи.
Геометрическая вероятность применима, если область возможных положений имеет конечную ненулевую меру и точка выбирается равномерно. Конечность позволяет получить осмысленную общую меру, а ненулевая мера нужна, чтобы на неё можно было делить. Если выбор смещён в сторону отдельных частей, одного отношения мер недостаточно. Тогда необходимо учитывать, как именно распределяются шансы выбора.
| Область выбора | Мера всей области | Мера благоприятной области | Вероятность |
|---|---|---|---|
| Отрезок | Длина отрезка | Длина благоприятной части | Отношение длин |
| Плоская фигура | Площадь фигуры | Площадь благоприятной части | Отношение площадей |
| Пространственное тело | Объём тела | Объём благоприятной части | Отношение объёмов |
Сначала найдите в таблице тип области, в которой выбирают точку, и соответствующую ей меру. Затем примените ту же меру к благоприятной части и составьте отношение. Единицы измерения в числителе и знаменателе должны совпадать.
Задача 1. Точку равномерно выбирают на отрезке длиной 10 см. Найдите вероятность того, что она попадёт на отрезок длиной 3 см внутри него. Нужно сравнить не число точек, а длины подходящей и полной частей. В условии сказано, что короткий отрезок находится внутри большого, поэтому его длина целиком относится к благоприятной области.
Ответ: 0,3, или 30%. Проверка: благоприятный отрезок короче всего отрезка, поэтому вероятность меньше 1.
Задача 2. Точку равномерно выбирают внутри квадрата со стороной 4 см. Найдите вероятность её попадания в круг радиуса 1 см, расположенный внутри квадрата. Здесь возможные положения заполняют плоскую фигуру, значит, нужно сравнить площади. По условию круг целиком лежит в квадрате, поэтому вся площадь круга является благоприятной.
Ответ: π / 16, или примерно 0,196. Результат меньше 1, поскольку круг занимает только часть квадрата.
Задача 3. Точку равномерно выбирают внутри прямоугольника 6 × 4. Найдите вероятность того, что расстояние от неё до ближайшей длинной стороны меньше 1. Длинные стороны имеют длину 6, поэтому благоприятные положения образуют две полосы у этих сторон. Ширина каждой полосы равна 1, и полосы не пересекаются, так как высота прямоугольника равна 4.
Ответ: 0,5, или 50%. Две полосы учитывают обе длинные стороны, а условие о ближайшей стороне не добавляет другие части прямоугольника.
Смешивают разные меры: делят длину на площадь или площадь на объём. Так бывает, когда забывают определить тип области выбора. Проверьте, что числитель и знаменатель измеряются одинаково и их единицы сокращаются.
Берут всю фигуру за благоприятную область, хотя условие задаёт лишь её часть. Ошибка возникает, если не представить, где именно находятся точки, для которых событие наступает. Нарисуйте или опишите подходящую область и убедитесь, что каждая её точка удовлетворяет условию.
Считают выбор равномерным без основания. Обычно это происходит потому, что условие задачи называют случайным, но не уточняют распределение выбора. Проверьте, сказано ли, что точка выбирается равномерно; если нет, отношение мер может быть неприменимо.
Получают вероятность больше 1. Вероятность не может превосходить единицу, поэтому такой результат обычно означает, что благоприятная область определена неверно или её мера вычислена с ошибкой. Сравните меры: благоприятная область должна входить во всю область, а значит, не может быть больше неё.
До этой темы полезно уметь находить длины отрезков, площади фигур и объёмы простых тел: именно эти величины становятся мерами областей. Геометрическая вероятность соединяет геометрию с классической вероятностью: вместо подсчёта отдельных равновозможных исходов используют отношение размеров частей. Этот подход служит основой для задач на случайное попадание и помогает перейти к непрерывным случайным величинам. В таких задачах исходами могут быть любые точки некоторой области.
Почему в задаче можно сравнивать площади, а не считать отдельные исходы?
Точек внутри фигуры бесконечно много, поэтому перечислить исходы нельзя. При равномерном выборе шанс попадания в часть фигуры определяется тем, какую долю общей площади она занимает.
Что означает равномерный выбор точки?
Это значит, что равные по длине, площади или объёму части области имеют одинаковую вероятность получить выбранную точку. Поэтому большая по мере область получает большую долю возможных попаданий.
Как определить благоприятную область?
Нужно перевести условие события на язык положения точки и выделить все точки, для которых это условие выполняется. Например, если требуется расстояние до стороны меньше заданного, благоприятная область будет полосой рядом с этой стороной.
Можно ли использовать отношение длин, если точку выбирают внутри фигуры?
Обычно нельзя: для точки, выбираемой внутри плоской фигуры, сравнивают площади. Отношение длин подходит, когда область возможных положений сама является отрезком.
Что делать, если благоприятная область состоит из нескольких частей?
Нужно найти меру каждой части и сложить эти значения, следя, чтобы области не учитывались дважды. Затем сумму разделить на меру всей области возможных исходов.
§ 2. Геометрические вероятности
