"Математика: алгебра и геометрия", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Случайная величина переводит исход случайного опыта в число: например, после броска кубика она показывает число выпавших очков. Чтобы описать такую величину, перечисляют её возможные значения и вероятности, а затем вычисляют математическое ожидание — среднее с учётом этих вероятностей. Оно помогает оценить типичный результат. Закон больших чисел объясняет, почему среднее многих независимых наблюдений обычно приближается к математическому ожиданию, хотя точное совпадение не гарантируется.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Случайная величина — величина, значение которой определяется исходом случайного опыта. Например, при броске кубика ею может быть число выпавших очков: результатом окажется одно из чисел от 1 до 6. Это понятие позволяет описывать случайные исходы числами и сравнивать их.
Распределение случайной величины — перечень её возможных значений и вероятностей этих значений. Для правильного кубика каждому числу от 1 до 6 соответствует вероятность 1/6. Вероятности всех значений неотрицательны и в сумме равны 1; распределение нужно, чтобы учитывать не только результаты, но и то, насколько они вероятны.
Математическое ожидание — среднее значение случайной величины с учётом вероятностей её возможных значений. Для дискретной величины, то есть принимающей отдельные значения x₁, …, xₙ с вероятностями p₁, …, pₙ, используют формулу M(X) = x₁p₁ + … + xₙpₙ. Оно помогает оценить средний результат при многократном повторении опыта.
Закон больших чисел — закономерность, согласно которой при большом числе независимых испытаний среднее наблюдаемых значений обычно приближается к математическому ожиданию. Независимость означает, что результат одного испытания не влияет на другое. Закон нужен, чтобы понимать, почему долгие серии наблюдений дают устойчивую среднюю оценку.
Сначала задают случайный опыт и решают, какое число будет описывать каждый его исход. При броске кубика удобно взять число очков, поэтому исход «выпало 4» даёт значение 4. При этом разные исходы могут дать одно значение: например, если записывать число выпавших чётных очков, исходы 2, 4 и 6 все дадут значение 1. Такое сопоставление превращает описание опыта в описание случайной величины.
Чтобы составить распределение, сначала выписывают все значения, которые величина действительно может принять, а затем находят вероятность каждого. Для кубика каждое число выпадает с вероятностью 1/6, поскольку все шесть исходов равновозможны. Проверка суммы важна потому, что величина обязательно примет какое-то из перечисленных значений: вероятности этих случаев вместе должны охватывать весь опыт. Если сумма не равна 1 или одна вероятность отрицательна, распределение задано неверно.
Математическое ожидание получается, если каждое значение умножить на его вероятность и результаты сложить. Это не обычное среднее списка значений: вероятности показывают, как часто значения должны влиять на долгую серию наблюдений. Поэтому частое значение получает больший вес, а редкое — меньший. Например, если значение 0 возникает часто, а 10 редко, среднее с учётом вероятностей окажется ближе к 0, чем простое среднее чисел 0 и 10.
В реальной серии испытаний находят среднее арифметическое: складывают все полученные значения и делят сумму на число испытаний. Если бросили кубик четыре раза и получили 2, 5, 1 и 4, среднее равно (2 + 5 + 1 + 4) / 4 = 3. Это описание именно проведённой серии, поэтому результат зависит от того, какие числа выпали. Для другой серии среднее может измениться.
Математическое ожидание относится к распределению, а среднее серии — к конкретным наблюдениям. Закон больших чисел связывает их: чем больше независимых испытаний, тем обычно ближе среднее серии к математическому ожиданию. Причина в том, что при многочисленных повторах случайные отклонения отдельных результатов в среднем сглаживаются. Но закон не требует точного равенства после какого-то фиксированного числа опытов: конкретная серия всё ещё может дать отклонение.
| Понятие | Что означает | Как определить или вычислить | Пример |
|---|---|---|---|
| Случайная величина | Число, зависящее от исхода опыта | Задать числовое значение каждому исходу | Число очков при броске кубика |
| Возможные значения | Все числа, которые может принять величина | Перечислить значения, учитывая устройство опыта | 1, 2, 3, 4, 5, 6 для кубика |
| Распределение вероятностей | Возможные значения и вероятности каждого из них | Найти вероятности и проверить, что их сумма равна 1 | Для каждого числа на правильном кубике вероятность 1/6 |
| Математическое ожидание | Среднее с учётом вероятностей | M(X) = x₁p₁ + … + xₙpₙ | Для правильного кубика M(X) = 3,5 |
| Среднее значение в серии испытаний | Среднее фактически полученных результатов | Сложить наблюдения и разделить на их число | Для результатов 2, 5, 1, 4 среднее равно 3 |
Пользуйтесь таблицей, чтобы различать величину, её распределение и два вида среднего. Если заданы вероятности, рассчитывают математическое ожидание; если приведены результаты проведённой серии, находят среднее этой серии. Перед вычислением ожидания проверьте, что перечислены все значения и сумма вероятностей равна 1.
Задача 1. При броске правильного кубика случайная величина X равна числу выпавших очков. Перечислите возможные значения и задайте распределение X. Нужно учесть, что у кубика шесть граней и каждая из них выпадает с одинаковой вероятностью.
Ответ: значения 1, 2, 3, 4, 5, 6; вероятность каждого — 1/6.
Задача 2. Случайная величина X принимает значения 0 и 10 с вероятностями 0,7 и 0,3. Найдите её математическое ожидание. Здесь не следует усреднять числа 0 и 10 поровну: вероятность показывает, что значение 0 встречается чаще и должно сильнее повлиять на итог.
Ответ: M(X) = 3. Это средняя характеристика распределения, а не утверждение, что в отдельном опыте обязательно получится 3.
Задача 3. Монету подбрасывают много раз, записывая 1 при выпадении орла и 0 при выпадении решки. К какому числу будет приближаться среднее записанных значений и почему? При этом предполагается, что монета правильная, а отдельные подбрасывания независимы.
Ответ: среднее обычно приближается к 0,5, но не обязано точно равняться ему в каждой серии.
Считать математическое ожидание наиболее вероятным значением. Его путают с результатом, который «должен выпасть», хотя это взвешенное среднее распределения. Поэтому ожидание может не совпадать ни с одним возможным значением. Проверьте себя: подставьте значения и вероятности в формулу, не выбирая самое частое значение.
Не проверять сумму вероятностей. Иногда пропускают возможный исход или ошибаются в вычислениях, из-за чего сумма получается не равна 1. Такое распределение не охватывает все варианты опыта или содержит неверную вероятность. Сложите вероятности ещё раз и убедитесь, что каждая из них неотрицательна.
Складывать значения без учёта вероятностей. Так получают среднее списка чисел, как если бы все значения были одинаково вероятны. Это может исказить результат, если одни события происходят чаще других. Для математического ожидания каждое значение нужно умножить на соответствующую вероятность; проверка формулы помогает не спутать два средних.
Считать, что закон больших чисел гарантирует точное совпадение. Такое прочтение возникает из-за слов «приближается» и «при большом числе», которые ошибочно принимают за обещание равенства. Закон описывает общую тенденцию, а не точный результат каждой серии. Проверьте формулировку: она говорит о сближении при большом числе независимых испытаний, а не о совпадении после заданного числа повторов.
Для изучения темы нужно знать, что такое случайный опыт, его исход и вероятность события, а также уметь находить среднее арифметическое. Вероятности помогают построить распределение, а среднее арифметическое — обработать уже полученную серию результатов. Эти идеи пригодятся при анализе повторных наблюдений и оценке частот событий. Они также служат основой для дальнейшего изучения теории вероятностей и статистики.
Может ли математическое ожидание быть нецелым числом?
Да. Оно вычисляется как взвешенное среднее значений и вероятностей, поэтому результат может быть дробным. Например, у правильного кубика математическое ожидание равно 3,5.
Обязательно ли математическое ожидание совпадает с одним из возможных значений?
Нет. Например, при броске правильного кубика возможны значения от 1 до 6, а математическое ожидание равно 3,5. Это средняя характеристика, а не обязательно исход отдельного опыта.
Почему при вычислении математического ожидания учитывают вероятности?
Потому что разные значения возникают с разной частотой. Более вероятное значение должно сильнее влиять на среднее, чем редкое, поэтому каждое значение умножают на его вероятность.
Означает ли закон больших чисел, что среднее обязательно станет равным математическому ожиданию?
Нет. Закон говорит, что при большом числе независимых испытаний среднее обычно приближается к математическому ожиданию. Точного равенства после определённого числа опытов он не обещает.
Как по результатам большого числа испытаний оценить вероятность события?
Нужно разделить число испытаний, в которых событие произошло, на общее число испытаний. Полученная относительная частота при большом числе независимых повторений обычно становится близкой к вероятности события.
§ 3. Случайные величины. Закон больших чисел
