§ 4. Математическая статистика

Определения и обозначения

Выборка — набор значений признака, полученных при наблюдении или измерении. Например, чтобы изучить время дороги до школы, записывают результаты для нескольких учеников и получают список данных. Исходные наблюдения включают в выборку по одному разу каждое, даже если некоторые результаты совпадают. Выборка нужна, чтобы описывать собранные данные и сравнивать их.

Частота значения — число раз, которое это значение встречается в выборке. Её находят простым подсчётом повторений: если число 5 записано три раза, его частота равна 3. Частота помогает увидеть, какие значения наблюдались чаще. Общее число наблюдений называют объёмом выборки.

Относительная частота — доля наблюдений с данным значением; её находят, разделив частоту значения на объём выборки. Например, если результат встретился 4 раза в выборке из 20 наблюдений, его относительная частота равна 4/20 = 0,2. Эта величина показывает не просто количество случаев, а их часть от всех данных. Поэтому относительные частоты удобно сравнивать в выборках разного объёма.

Мода выборки — значение, которое встречается чаще остальных. Чтобы её найти, сравнивают частоты разных значений. Несколько значений могут делить наибольшую частоту, поэтому мод бывает несколько. Если все наблюдения различны и повторений нет, мода отсутствует.

Как это устроено

Чтобы получить вариационный ряд, значения выборки располагают по возрастанию, не удаляя повторения. Порядок исходных наблюдений часто случаен, поэтому по нему трудно заметить середину ряда и частые значения. Упорядочивание делает структуру данных заметнее и помогает находить медиану. Например, из списка 4, 2, 4, 3 получается ряд 2, 3, 4, 4.

Для таблицы частот одинаковые значения объединяют в группы, а затем считают количество наблюдений в каждой группе. Так вместо длинного списка получается компактное описание, в котором видно, какие результаты чаще встречаются. Проверка проста: сумма частот должна совпасть с объёмом выборки, потому что каждое наблюдение учтено ровно один раз. Если сумма меньше или больше, значит, при подсчёте что-то пропущено или посчитано повторно.

Относительная частота показывает долю наблюдений с определённым значением, потому что частоту сравнивают со всем объёмом выборки. Доли всех значений вместе составляют целое: каждое наблюдение относится к одной из групп, поэтому сумма относительных частот равна 1. Например, значение 0,2 означает одну пятую всех наблюдений. Если доли записаны в процентах, их сумма равна 100%.

Среднее арифметическое находят, складывая все значения выборки и деля сумму на объём. В таблице частот одно значение повторяется столько раз, сколько указано в его частоте, поэтому его нужно умножить на частоту. Затем складывают полученные произведения и делят результат на общий объём выборки. Если сложить только различные значения, повторения не будут учтены и среднее окажется неверным.

Для поиска медианы сначала упорядочивают выборку, иначе нельзя определить её центральное положение. Если наблюдений нечётное число, в середине ряда находится одно значение — оно и будет медианой. Если наблюдений чётное число, посередине окажутся два значения, поэтому медианой считают их среднее арифметическое. Такой способ делит упорядоченную выборку на две половины: значения не меньше медианы и значения не больше неё.

Основные характеристики выборки

Эта таблица помогает выбрать способ обработки данных в зависимости от того, что нужно узнать. Частоты описывают повторения, а среднее, мода и медиана дают разные характеристики значений. Для расчётов сначала проверьте объём и упорядочьте данные, если ищете медиану.

Разбор задач

Задача 1. Для данных 3, 5, 3, 4, 5, 3 составить вариационный ряд и указать частоту каждого значения. Сначала нужно упорядочить наблюдения, сохранив все повторы, а затем подсчитать, сколько раз встречается каждое различное число.

1. Расположим значения по возрастанию: 3, 3, 3, 4, 5, 5.
2. Различные значения — 3, 4 и 5. Число 3 встречается три раза, 4 — один раз, 5 — два раза.
3. Проверим подсчёт: 3 + 1 + 2 = 6, то есть число наблюдений в исходном списке.

Ответ: вариационный ряд — 3, 3, 3, 4, 5, 5; частоты: для 3 — 3, для 4 — 1, для 5 — 2. Проверка суммы частот подтверждает, что каждое наблюдение учтено.

Задача 2. Для выборки 2, 4, 4, 5, 5, 5, 8 составить таблицу частот и относительных частот, затем найти моду. Объём выборки равен 7, поэтому относительную частоту каждого значения получим делением его частоты на 7. Модой станет значение с наибольшей частотой.

1. Сгруппируем данные: 2 встречается 1 раз, 4 — 2 раза, 5 — 3 раза, 8 — 1 раз.
2. Вычислим относительные частоты: для 2 — 1/7, для 4 — 2/7, для 5 — 3/7, для 8 — 1/7.
3. Проверим сумму частот: 1 + 2 + 3 + 1 = 7. Сумма относительных частот равна (1 + 2 + 3 + 1)/7 = 1.
4. Наибольшая частота равна 3, она относится к значению 5.

Ответ: таблица содержит значения 2, 4, 5, 8 с частотами 1, 2, 3, 1 и относительными частотами 1/7, 2/7, 3/7, 1/7 соответственно. Мода выборки — 5.

Задача 3. Для выборки 12, 15, 15, 18, 20, 22, 24, 30 найти среднее арифметическое и медиану; объяснить, как изменится среднее, если заменить 30 на 60. Ряд уже упорядочен, а его объём равен 8. Поэтому медиану определяет центральная пара, а для среднего понадобится сумма всех восьми значений.

1. Сложим значения: 12 + 15 + 15 + 18 + 20 + 22 + 24 + 30 = 156.
2. Найдём среднее: 156/8 = 19,5.
3. Центральные значения в ряду — четвёртое и пятое, это 18 и 20. Медиана равна (18 + 20)/2 = 19.
4. При замене 30 на 60 сумма увеличится на 30 и станет 186. Новое среднее: 186/8 = 23,25, то есть оно увеличится на 3,75.

Ответ: среднее арифметическое равно 19,5, медиана — 19. После замены 30 на 60 среднее станет 23,25, потому что большое значение заметно увеличит общую сумму; медиана останется 19, так как центральная пара не изменилась.

Типичные ошибки

Частоту принимают за относительную частоту или наоборот. Это происходит потому, что обе величины относятся к одному значению, но частота — целое число наблюдений, а относительная частота — доля от всей выборки. Для самопроверки спросите себя, получено ли число простым подсчётом или делением на объём. Относительная частота не может быть больше 1.

При вычислении среднего по таблице складывают только различные значения, забывая умножить каждое на его частоту. Так поступают, если таблицу воспринимают как список, а не как сокращённую запись повторяющихся наблюдений. Перед делением составьте сумму произведений «значение × частота». Затем проверьте, что делите на сумму частот, а не на число строк таблицы.

При чётном числе наблюдений за медиану выбирают одно из двух центральных значений. Ошибка возникает из-за того, что в середине ряда нет единственного элемента. Нужно сложить два центральных значения и разделить сумму на 2. Проверяйте, чётен ли объём выборки, прежде чем определять медиану.

Иногда считают, что мода обязательно одна. На самом деле несколько значений могут иметь одинаковую наибольшую частоту, а если повторов нет, мода отсутствует. Ошибка появляется, когда выбирают только первое из часто встречающихся значений или ищут повторения, не сравнивая частоты. Составьте список частот и проверьте, у каких значений достигнут максимум.

Связь с другими темами

Для работы с выборкой нужны навыки сложения, деления и нахождения среднего арифметического, а также умение упорядочивать числа. Частоты и относительные частоты помогают читать таблицы, диаграммы и результаты опросов: по ним можно оценить количество или долю ответов. Представление данных и их характеристики пригодятся при дальнейшем изучении вероятности и анализе статистической информации. Умение проверять сумму частот помогает замечать ошибки в исходных подсчётах.

Что запомнить

• Объём выборки — общее число наблюдений, включая повторы.
• Сумма частот всех значений равна объёму выборки.
• Относительная частота равна частоте, делённой на объём выборки.
• Среднее арифметическое учитывает все значения выборки.
• Мода имеет наибольшую частоту и может быть не единственной.
• Медиана определяется по упорядоченной выборке.
• Для чётного объёма выборки медиана — среднее двух центральных значений.