§ 1. Высказывания и предложения с переменными

Определения и обозначения

Высказывание — предложение, которому можно однозначно приписать истинность или ложность. Это должно быть утверждение, а не вопрос или просьба: например, фразу «Снег белый» можно проверить, а вопрос «Какого цвета снег?» — нельзя. Понятие нужно, чтобы точно говорить о правильности математических утверждений.

Истинное высказывание верно, а ложное высказывание неверно. Это два возможных истинностных значения; одно и то же высказывание не может одновременно быть истинным и ложным в одном и том же смысле. Различие помогает оценивать результат вычисления или рассуждения.

Предложение с переменной — предложение, истинность которого зависит от значения переменной. Например, в записи x + 4 = 9 неизвестное число обозначено буквой x. Пока значение x не задано, обычно нельзя решить, верно ли равенство, поэтому оно ещё не является высказыванием с определённой истинностью.

Множество истинности — все значения переменной из заданной области, при которых предложение становится истинным. Например, для x + 4 = 9 это число 5, если областью являются целые числа. Понятие позволяет записать не отдельные проверенные примеры, а полный набор подходящих значений.

Как это устроено

Чтобы определить, является ли фраза высказыванием, сначала спроси себя, утверждает ли она что-либо и можно ли установить её истинность или ложность. Вопрос не утверждает факт, а команда побуждает к действию, поэтому ни одному из них нельзя приписать истинностное значение. Бывает и повествовательная фраза, смысл которой неясен или зависит от неизвестных обстоятельств: пока её нельзя проверить, считать её высказыванием нельзя. Такой тест отделяет утверждения от остальных предложений.

Когда в математическом условии есть переменная, она играет роль места для значения, которое пока не выбрано. Поэтому предложение x + 4 = 9 само по себе не говорит, верно ли равенство: при разных числах результат проверки различается. Подстановка конкретного значения убирает неопределённость, и мы получаем обычное высказывание. Затем его истинность можно проверить знакомыми действиями — вычислить обе части или сравнить их.

Проверять условие нужно не в пустоте, а на заданной области значений: например, среди натуральных, целых или действительных чисел. Область определяет, какие значения вообще разрешено рассматривать, поэтому влияет на состав множества истинности. Если решение уравнения равно ½, оно подойдёт для области рациональных чисел, но не для области целых чисел. Значит, сначала учитывают условие задачи о допустимых значениях, а после решения отбирают только подходящие.

Множество истинности можно находить перебором, если область небольшая и значения удобно проверять по очереди. Для бесконечной области перебор не годится: тогда решают соответствующее уравнение или неравенство, потому что эти способы находят все значения, удовлетворяющие условию. Например, из 2x − 1 < 5 получаем x < 3, а затем записываем решения только из указанной области. Несколько удачных подстановок могут подтвердить отдельные решения, но не доказывают, что других нет.

Чтобы узнать истинностное значение при заданном x, подставь его вместо каждой переменной и выполни действия в правильном порядке. Если после вычислений равенство или неравенство выполняется, получилось истинное высказывание; если нет — ложное. Например, при x = 5 равенство x + 4 = 9 превращается в 5 + 4 = 9 и оказывается истинным. Такая проверка отвечает только для выбранного значения, а не сразу для всех возможных x.

Высказывание и предложение с переменной

Сравнивай предложения по строкам: сначала выясни, задано ли значение переменной, затем проверь, можно ли уже решить, истинно ли условие. Последняя строка показывает, зачем изучают предложения с переменной: для них можно найти все подходящие значения. При этом помни, что множество истинности рассматривают только относительно указанной области.

Разбор задач

Задача 1. Определите, какие предложения являются высказываниями: «7 — простое число», «Откройте учебник», «Сколько будет 2 + 3?». Нужно проверить не то, содержит ли фраза математические слова, а можно ли назвать её истинной или ложной. Разберём каждую отдельно.

1. «7 — простое число» сообщает утверждение. Число 7 делится без остатка только на 1 и на себя, поэтому утверждение истинно.
2. «Откройте учебник» — приказ. Он предлагает действие, но не сообщает факт, истинность которого можно проверять.
3. «Сколько будет 2 + 3?» — вопрос. На него можно ответить числом 5, но сам вопрос не является истинным или ложным.

Ответ: высказывание — только «7 — простое число». Первое предложение истинно, а приказ и вопрос высказываниями не являются. Различай утверждение и фразу, которая лишь требует ответа или действия.

Задача 2. Для предложения x + 4 = 9 определите истинностное значение при x = 5 и при x = 3. Подстановка нужна, чтобы вместо условия с переменной получить конкретное равенство. Проверим обе части на каждом значении.

1. При x = 5 получаем 5 + 4 = 9. Левая часть равна правой, значит, высказывание истинно.
2. При x = 3 получаем 3 + 4 = 9. Левая часть равна 7, а 7 ≠ 9, значит, высказывание ложно.

Ответ: при x = 5 предложение истинно, при x = 3 — ложно. Одинаковая запись с переменной может давать разные результаты, потому что меняется подставленное число. Чтобы проверить себя, вычисли левую часть и сравни её с правой.

Задача 3. Найдите множество истинности предложения 2x − 1 < 5 на множестве целых чисел. Сначала найдём все значения, удовлетворяющие неравенству, а затем запишем только целые из них. Такой порядок не позволяет потерять требование об области значений.

1. Прибавим 1 к обеим частям: 2x < 6.
2. Разделим обе части на положительное число 2, сохранив знак неравенства: x < 3.
3. Среди целых чисел условию соответствуют все числа меньше 3: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2. Число 3 не подходит, поскольку условие строгое.

Ответ: множество истинности — все целые числа x, для которых x < 3. Оно бесконечно, поэтому его можно задать условием, а не перечислять полностью. Проверка, например, x = 2 подтверждает, что это число подходит, но именно решение неравенства гарантирует полноту множества.

Типичные ошибки

Ошибка — считать предложение с переменной истинным или ложным до подстановки. Её допускают, когда видят знакомое уравнение и сразу принимают его за утверждение с готовым ответом. Но при разных значениях x условие может вести себя по-разному. Проверь себя: если переменная не задана, спроси, можно ли уже установить истинность именно этого предложения.

Ошибка — называть вопрос или приказ высказыванием. Иногда их принимают за высказывания потому, что они состоят из слов и заканчиваются знаком препинания, но форма предложения не определяет его истинность. У вопроса ожидается ответ, а приказ требует действия. Для самопроверки сформулируй, что именно в такой фразе можно признать верным или неверным; если нечего проверять, это не высказывание.

Ошибка — находить множество истинности и забывать заданную область. Такое происходит, если решить уравнение или неравенство, но не сверить ответы с условием задачи. Например, решение ½ не подойдёт, если переменная должна быть целым числом. После решения обязательно проверь каждое найденное значение на принадлежность указанной области.

Ошибка — проверить несколько чисел и объявить их всеми решениями. Подстановка доказывает только, что конкретное число подходит или не подходит, но не исключает существование других подходящих значений. Поэтому перебор полезен лишь в небольшой конечной области, а в остальных случаях нужно решить уравнение или неравенство. Самопроверка проста: объясни, почему найденное множество охватывает все допустимые значения, а не только проверенные примеры.

Связь с другими темами

Для работы с предложениями, содержащими переменные, нужно уметь подставлять числа вместо букв и вычислять значения выражений. Эти навыки позволяют получить конкретное равенство или неравенство и проверить его. Если подстановка и вычисления выполнены аккуратно, проще определить истинность полученного высказывания.

Понятия высказывания и множества истинности пригодятся при изучении уравнений и неравенств. Решить такое условие — значит найти значения переменной, при которых оно истинно, не выходя за пределы заданной области. Тот же подход помогает рассуждать о том, для каких значений выполняется математическое условие.

Что запомнить

• Высказывание бывает истинным или ложным.
• Вопрос и приказ не являются высказываниями.
• Истинность предложения с переменной зависит от её значения.
• Подстановка значения переменной превращает предложение в высказывание.
• Множество истинности включает все подходящие значения переменной.
• При нахождении множества истинности учитывают заданную область значений.