§ 2. Логические связки

Определения и обозначения

Высказывание — предложение, о котором можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. Например, «8 — чётное число» — высказывание, а «Сколько будет 2 + 2?» — нет: вопрос не утверждает, что-либо истинное или ложное. Побуждения, например «Реши уравнение», тоже не являются высказываниями. Понятие нужно, чтобы рассуждать о том, какие утверждения верны.

Отрицание высказывания — новое высказывание, утверждающее, что исходное неверно. Если исходное обозначено A, отрицание записывают ¬A и читают «не A». Например, если A — «число 8 чётное», то ¬A — «число 8 не является чётным». Отрицание позволяет выразить противоположное утверждение.

Конъюнкция — сложное высказывание «A и B», которое записывают A ∧ B. Оно истинно только в том случае, когда истинны обе части A и B. Например, утверждение «число 6 чётное и делится на 3» истинно, потому что верны обе его части. Эта связка нужна, когда условие требует одновременного выполнения нескольких требований.

Дизъюнкция — сложное высказывание «A или B», обозначаемое A ∨ B. Оно истинно, если истинно хотя бы одно из двух высказываний, в том числе когда истинны сразу оба. Например, «число делится на 2 или на 3» верно для числа 6. Дизъюнкция помогает записывать условие, в котором достаточно выполнить хотя бы одно требование.

Как это устроено

Чтобы изучать сложные утверждения, сначала обозначают простые высказывания буквами: например, A и B. Затем их соединяют логическими связками и получают новое высказывание. Такой способ удобен, потому что правила зависят не от конкретных слов, а от значений истинности частей. Поэтому одна схема подходит для разных математических условий.

Отрицание меняет истинность на противоположную, потому что оно утверждает ровно то, что исходное высказывание неверно. Если A истинно, утверждение «не A» ложно; если A ложно, отрицание оказывается истинным. Например, у утверждения «7 — чётное число» значение ложное, а у его отрицания «7 — нечётное число» — истинное. Так можно заменить проверку исходного факта проверкой противоположного.

Для конъюнкции недостаточно, чтобы верной была только одна часть: слово «и» требует выполнения каждого из соединённых условий. Если A истинно, но B ложно, фраза «A и B» всё равно не описывает верную ситуацию. Например, «число 10 больше 5 и меньше 8» ложно: первая часть верна, вторая — нет. Поэтому проверяй обе части, прежде чем объявлять конъюнкцию истинной.

Дизъюнкция устроена иначе: для неё достаточно хотя бы одной истинной части. Это математическое значение слова «или» включает ситуацию, когда подходят оба варианта; исключающего «или только одно» здесь нет. Например, число 6 делится и на 2, и на 3, поэтому высказывание «6 делится на 2 или на 3» истинно. Учитывай это различие, чтобы не отвергать верное высказывание из-за истинности обеих частей.

Проверяя выражение из нескольких связок, двигайся от простых частей к целому. Сначала установи значения истинности A и B, потом найди значение каждой связки, например ¬A или A ∧ B. Если частей больше, результат одного действия используй на следующем шаге. Такой порядок не позволяет подменить проверку сложного утверждения интуитивным впечатлением.

Значения истинности высказываний с логическими связками

Найди в таблице строку, где значения A и B совпадают с условием задачи. Затем посмотри в столбец нужной связки — там указана истинность всего выражения. Например, конъюнкция истинна только в первой строке, а дизъюнкция ложна только в последней.

Разбор задач

Пусть A: «Число 8 чётное». Составим отрицание A и выясним, истинно ли оно. Важно отрицать всё утверждение, а не менять случайное слово: нас интересует, верно ли, что число 8 не является чётным.

1. Запишем отрицание: ¬A — «Число 8 нечётное» (то есть не является чётным).

2. Число 8 делится на 2 без остатка, поэтому A истинно.

3. Отрицание истинного высказывания ложно.

Ответ: ¬A — «Число 8 не является чётным»; это высказывание ложно.

Пусть A: «9 делится на 3», а B: «9 делится на 2». Определим A ∧ B и A ∨ B. Сначала проверим части отдельно: 9 делится на 3, но не делится на 2 без остатка, значит, A истинно, а B ложно.

1. Для A ∧ B требуются две истинные части. Поскольку B ложно, конъюнкция ложна.

2. Для A ∨ B достаточно одной истинной части. A истинно, поэтому дизъюнкция истинна.

Ответ: A ∧ B — ложное высказывание, A ∨ B — истинное.

Пусть A: «x > 2», B: «x < 5». Условие 2 < x < 5 означает, что x одновременно больше 2 и меньше 5. Следовательно, его можно записать как A ∧ B; проверим обе части при трёх значениях x.

1. При x = 1: A ложно, B истинно. Так как обе части нужны, A ∧ B ложно.

2. При x = 3: A истинно и B истинно. Конъюнкция истинна.

3. При x = 6: A истинно, B ложно. Конъюнкция ложна.

Ответ: 2 < x < 5 записывается как (x > 2) ∧ (x < 5); при x = 1 и x = 6 условие ложно, при x = 3 — истинно.

Типичные ошибки

Ошибка: считать A ∨ B ложным, когда истинны обе части. Так бывает из-за бытового смысла слова «или», которое иногда выбирает только один вариант. В математической логике достаточно хотя бы одной истинной части, а истинность обеих тоже подходит. Сверься со строкой таблицы, где A и B истинны: дизъюнкция там истинна.

Ошибка: считать конъюнкцию истинной, если истинна только одна часть. Причина — проверка одного условия вместо обоих. Но слово «и» требует, чтобы каждое из них выполнялось одновременно. Проверь значения A и B отдельно: если хотя бы одно ложно, A ∧ B ложно.

Ошибка: отрицать только отдельное слово, не проверив смысл всего высказывания. Из-за этого можно случайно изменить содержание фразы, а не утверждать, что исходная неверна. Спроси себя, отрицает ли полученное предложение исходное целиком. Для проверки сравни значения: у высказывания и его отрицания они должны быть противоположными.

Ошибка: сразу считать предложение с переменной истинным или ложным. Например, «x > 2» нельзя оценить, пока неизвестно значение x или условие на него. Подстановка разных чисел может дать разные результаты. Сначала задай значение переменной, а затем проверь неравенство.

Связь с другими темами

Перед изучением связок нужно уметь отличать математические высказывания от вопросов, побуждений и предложений без определённого значения истинности. Логические обозначения помогают точно записывать условия и проверять их при решении неравенств. Например, промежуток 2 < x < 5 требует одновременного выполнения двух неравенств. Таблицы истинности станут основой для дальнейшего изучения сложных выражений и их преобразований.

Что запомнить

• Высказывание может быть истинным или ложным.
• Отрицание меняет истинность высказывания на противоположную.
• Конъюнкция A ∧ B истинна только при истинности A и B.
• Дизъюнкция A ∨ B истинна, если истинно хотя бы одно из высказываний.
• Математическое «или» допускает, что истинны обе части.
• Истинность сложного высказывания определяют по истинности его частей и правилам связок.