"Математика: алгебра и геометрия", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Сфера — поверхность шара, на которой расстояния и кратчайшие пути устроены иначе, чем на плоскости. Прямую здесь заменяет дуга большого круга — окружности, полученной сечением сферы плоскостью через центр. Такие дуги образуют сферические треугольники, у которых сумма углов больше 180°. Эти свойства помогают прокладывать кратчайшие маршруты на глобусе и понимать, почему карта не всегда точно передаёт расстояния на Земле.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сфера — поверхность, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от центра. Это расстояние называют радиусом сферы. Сферу не следует путать с шаром: шар включает ещё и внутреннюю область, а в геометрии на сфере рассматривают именно поверхность.
Большой круг — окружность, полученная пересечением сферы с плоскостью, проходящей через её центр. Диаметр такого круга равен диаметру сферы, поэтому это самая большая окружность на данной сфере. Большие круги нужны для построения кратчайших маршрутов и сторон сферических фигур.
Геодезическая на сфере — кратчайшая линия между двумя точками её поверхности. На сфере такой линией служит дуга большого круга: если взять точки и центр сферы, они задают плоскость, а её пересечение со сферой является большим кругом. Это понятие заменяет прямую, когда движение происходит по поверхности.
Сферический треугольник — часть сферы, ограниченная тремя дугами больших кругов. Его вершины — точки пересечения этих кругов, а стороны являются дугами. Такое определение позволяет перенести идею треугольника на искривлённую поверхность.
Возьмём две точки на сфере и проведём через них и центр сферы плоскость. Сечение этой плоскостью будет большим кругом, а две точки разделят его на две дуги. Любой путь по поверхности можно мысленно сравнить с этими дугами: путь, который отклоняется от плоскости сечения, оказывается длиннее, чем путь внутри наиболее прямого сечения.
Кратчайшая линия на поверхности не обязана выглядеть прямой для наблюдателя, стоящего рядом со сферой. Если представить сферу как поверхность Земли, направление движения постепенно меняется относительно пространства, хотя путешественник всё время идёт по геодезической. Поэтому кратчайшая дуга лежит в плоскости, проходящей через центр, а не в произвольной плоскости.
Между двумя не противоположными точками большого круга есть две дуги. Их длины в сумме дают длину всей окружности, поэтому одна дуга меньше другой, если точки не являются концами диаметра. Для кратчайшего маршрута выбирают меньшую дугу; большая дуга описывает обход почти по всей окружности.
Три большие окружности могут пересекаться и образовать три вершины. Если взять между соседними вершинами подходящие меньшие дуги, получится сферический треугольник. Его стороны искривлены в пространстве, но каждая сторона является частью большого круга и потому играет роль «прямой» на сфере.
У плоского треугольника сумма углов равна 180°, а у сферического она больше. Причина в положительной кривизне сферы: поверхность изгибается в двух направлениях и не может быть полностью развернута на плоскость без искажений. Чем больше сферический треугольник, тем заметнее превышение над 180°.
| Свойство | На плоскости | На сфере |
|---|---|---|
| Кратчайший путь между точками | Отрезок прямой | Меньшая дуга большого круга |
| Линии, ограничивающие треугольник | Отрезки прямых | Дуги больших кругов |
| Сумма углов треугольника | Равна 180° | Больше 180° |
Таблица показывает, какие привычные свойства плоской геометрии изменяются после перехода к сфере. При решении задачи сначала определите, где расположены точки и какие линии соединяют их. Затем используйте именно сферическое свойство, а не правило для плоского треугольника.
На глобусе отмечены две точки, не являющиеся концами одного диаметра. Определите, по какой линии проходит кратчайший маршрут между ними.
Ответ: маршрут проходит по меньшей дуге большого круга, проходящего через данные точки.
Три дуги больших кругов образуют сферический треугольник; его углы равны 90°, 80° и 70°. Определите, чем сумма этих углов отличается от суммы углов плоского треугольника.
Ответ: сумма равна 240° и больше плоской на 60°.
Корабль идёт по поверхности Земли между двумя пунктами. Объясните, почему маршрут по дуге большого круга короче маршрута по другой дуге той же окружности, и укажите, какую дугу следует выбрать.
Ответ: следует выбрать меньшую дугу большого круга между пунктами.
Называть сферой весь шар. Так ошибаются из-за сходства слов и рисунков. Проверьте себя: если речь идёт о внутренних точках, это шар, а если только о внешней поверхности — сфера.
Считать кратчайшим любой путь по окружности. На сфере есть малые круги, и их дуги не обязаны быть кратчайшими. Уточните, проходит ли плоскость окружности через центр: только в этом случае круг большой.
Выбирать большую дугу большого круга. Она тоже соединяет точки, но проходит длинным обходом. Сравните две дуги или их центральные углы и выберите меньшую.
Утверждать, что сумма углов равна 180°. Это правило относится к плоским треугольникам, поэтому его переносят на сферу без проверки. Если стороны являются дугами больших кругов, ожидайте сумму больше 180°.
Для изучения геометрии на сфере нужны знания о сфере и шаре, плоскости и окружности, радиусе и диаметре. Также важно уметь измерять углы и сравнивать длины дуг. Эти понятия помогают понять, почему сечение через центр даёт большой круг.
Геометрия на сфере связана с географическими координатами, глобусом и навигацией. Ею пользуются, когда прокладывают маршруты самолётов и кораблей по поверхности Земли. На плоской карте такой маршрут может выглядеть необычно, хотя на сфере он является кратчайшим.
Чем сфера отличается от шара?
Сфера — только внешняя поверхность, все её точки удалены от центра на один и тот же радиус. Шар включает и эту поверхность, и все точки внутри неё.
Как понять, является ли окружность на сфере большим кругом?
Нужно проверить, проходит ли плоскость этой окружности через центр сферы. Если проходит, окружность является большим кругом; иначе это малый круг.
Почему кратчайший путь по глобусу не выглядит прямым на плоской карте?
На сфере кратчайший путь идёт по дуге большого круга. При переносе поверхности глобуса на плоскость карта искажает линии, поэтому такая дуга может выглядеть изогнутой.
Всегда ли кратчайший путь между точками сферы единственный?
Почти всегда выбирается единственная меньшая дуга большого круга. Для противоположных точек, являющихся концами диаметра, существуют бесконечно многие равные кратчайшие полуокружности.
Почему сумма углов сферического треугольника больше 180°?
Сфера имеет положительную кривизну, поэтому её поверхность отклоняется от плоскости. Из-за этого дуги больших кругов образуют углы с избытком: их сумма превышает 180°.
§ 1. Геометрия на сфере
