§ 2. Симметрия относительно окружности

Определения и обозначения

Инверсия относительно окружности — преобразование плоскости, при котором каждой точке, кроме центра окружности, соответствует точка на том же луче, а произведение расстояний от них до центра равно квадрату радиуса. Если исходная точка обозначена A, а её образ — A′, правило записывают так: OA · OA′ = R². Оно позволяет находить положение образа и расстояние до него.

Центр инверсии — центр окружности, относительно которой выполняют преобразование; конечного образа у него нет. Это точка O, от которой отсчитывают расстояния для всех остальных точек. Поэтому при построении образа сначала проводят луч из O через исходную точку.

Радиус инверсии — радиус окружности, задающей преобразование. Его квадрат R² входит в формулу OA · OA′ = R². Радиус нужен, чтобы определить расстояние до образа: если известны OA и R, можно вычислить OA′.

Симметричные точки относительно окружности — точка и её образ при инверсии. Они лежат на одном луче с центром инверсии и удовлетворяют равенству произведения расстояний. По этому признаку можно проверить, правильно ли найдена пара точек, даже если они находятся по разные стороны окружности.

Как это устроено

Чтобы построить образ точки A, проводят луч OA и ищут на нём точку A′, для которой OA · OA′ = R². Например, если OA уже известно, расстояние до образа получают делением R² на OA. Такое правило задаёт единственное место для A′ на луче, потому что расстояния положительны. Центр O исключён: при OA = 0 формула не позволяет получить конечное расстояние до образа.

Точки внутри и вне окружности меняются местами из-за того, как произведение расстояний связано с квадратом радиуса. Если OA < R, то OA′ = R² / OA больше R, значит, образ находится снаружи. Если OA > R, то деление R² на большее расстояние даёт OA′ < R, и образ оказывается внутри. Поэтому близость исходной точки к центру соответствует удалённости её образа.

Каждая точка самой окружности остаётся на месте, потому что для неё OA = R. Тогда формула принимает вид R · OA′ = R², откуда OA′ = R. Образ расположен на том же луче и на том же расстоянии от центра, поэтому совпадает с исходной точкой. Это объясняет, почему окружность инверсии служит границей между точками, которые меняются местами.

Преобразование меняет вид некоторых линий, поскольку расстояние до центра для точек линии подчиняется общему правилу инверсии. Прямая через центр переходит в себя: её точки и образы остаются на той же прямой. У прямой, не проходящей через центр, образ получается окружностью через центр. В обратном направлении окружность, проходящая через центр, переходит в прямую; окружность, не проходящая через центр, переходит в другую окружность.

Для построения образа окружности, не проходящей через центр инверсии, выбирают на ней три точки, не лежащие на одной прямой. Затем строят образы каждой из них по правилу OA · OA′ = R² и проводят окружность через полученные точки. Результат будет окружностью, потому что инверсия переводит окружность, не проходящую через центр, в окружность. Центр исходной окружности и центр инверсии лежат на прямой, на которой расположен центр образа, поэтому эту прямую используют для проверки построения.

Образы точек, прямых и окружностей при инверсии

Сначала найдите в таблице строку, соответствующую исходному объекту, и проверьте условие в третьем столбце. Для точек дополнительно применяйте формулу OA · OA′ = R². При работе с прямыми и окружностями особенно важно выяснить, проходит ли исходный объект через центр инверсии.

Разбор задач

Найти расстояние до образа точки

Радиус окружности инверсии равен 6 см, а точка A находится на расстоянии 3 см от центра O. Требуется найти расстояние от O до образа A′. Поскольку OA меньше радиуса, образ должен находиться дальше от центра, чем сама точка. Это также будет проверкой вычисления.

1. Запишем правило для симметричных точек: OA · OA′ = R². Здесь OA = 3 см, а R = 6 см.

2. Подставим значения: 3 · OA′ = 6² = 36. Разделим 36 на 3 и получим OA′ = 12 см.

3. Сравним результат с радиусом: 12 см больше 6 см. Значит, образ действительно лежит вне окружности, как и должно быть для точки внутри неё.

Ответ: 12 см.

Построить образ точки вне окружности

Точка A лежит вне окружности с центром O и радиусом R. Нужно построить её образ относительно этой окружности. Построение выполняют на луче OA, поскольку точка и её образ не находятся по разные стороны от центра. Так как OA > R, расстояние до образа должно оказаться меньше R.

1. Проведём луч OA и измерим расстояние OA. Обозначим искомое расстояние через OA′.

2. Используем формулу OA · OA′ = R² и выразим OA′: OA′ = R² / OA. Это расстояние меньше R, так как исходная точка находится дальше от центра, чем радиус.

3. Отложим найденное расстояние от O по лучу OA и отметим точку A′. Проверим, что она находится внутри окружности и что произведение OA · OA′ равно R².

Ответ: образ A′ строится на луче OA на расстоянии R² / OA от центра O.

Найти образ окружности

Окружность не проходит через центр инверсии. Требуется описать построение её образа и объяснить, почему получится окружность. Для задания окружности достаточно трёх точек, не лежащих на одной прямой. Поэтому можно построить образы трёх таких точек исходной окружности, а затем восстановить по ним образ.

1. Выберем на исходной окружности три точки A, B и C, не лежащие на одной прямой. Для каждой проведём луч из центра инверсии O.

2. Найдём расстояния до образов по формуле OA′ = R² / OA, OB′ = R² / OB и OC′ = R² / OC. Отложим их на соответствующих лучах и получим точки A′, B′ и C′.

3. Проведём окружность через A′, B′ и C′. Она и есть образ исходной, потому что окружность, не проходящая через центр инверсии, при инверсии переходит в окружность.

Ответ: построить образы трёх точек исходной окружности и провести через них окружность.

Типичные ошибки

Первая ошибка — помещать образ на противоположный луч. Так можно подумать из-за слова «симметрия», но при инверсии направление от центра сохраняется: A и A′ находятся на одном луче. Проверьте себя, проведя луч OA: обе точки должны лежать на нём, а не по разные стороны от O.

Вторая ошибка — считать, что OA = OA′. Инверсия обычно меняет расстояния, а задано произведение OA · OA′ = R². Равенство расстояний возможно только для точки на окружности инверсии. Для проверки подставьте оба расстояния в формулу и убедитесь, что их произведение равно R².

Третья ошибка — полагать, что точки окружности переходят в другие точки. Такое представление возникает, если забыть, что сама окружность задаёт радиус R преобразования. Для любой её точки OA = R, значит, и OA′ = R; на том же луче это та же точка. Проверяйте принадлежность исходной точки окружности до построения образа.

Четвёртая ошибка — считать, что любая прямая переходит в прямую. Это верно только для прямой, проходящей через центр инверсии; прямая без центра переходит в окружность через него. Проверка проста: сначала выясните, принадлежит ли O исходной прямой. Именно это условие определяет, какой вид будет у образа.

Связь с другими темами

Для изучения инверсии нужны понятия окружности, радиуса, луча, расстояния между точками и геометрического построения образа. Эти знания позволяют применять формулу и находить положение точки без дополнительных правил. Инверсия пригодится при решении задач на преобразования плоскости, свойства окружностей и геометрические построения. В таких задачах полезно прослеживать, как преобразование меняет взаимное расположение объектов.

Что запомнить

• Точка и её образ лежат на одном луче из центра инверсии.
• Для симметричных точек OA · OA′ = R².
• Точки окружности инверсии остаются неподвижными.
• Точки внутри и вне окружности меняются местами.
• Прямая через центр переходит в себя.
• Прямая, не проходящая через центр, переходит в окружность через центр.
• Окружность через центр переходит в прямую.