§ 3. Пятый постулат Евклида и открытие Лобачевского

Определения и обозначения

Пятый постулат Евклида утверждает: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести ровно одну прямую, параллельную данной. Постулат — это исходное положение, которое принимают без доказательства. Такая формулировка удобна тем, что сразу показывает, сколько прямых должно пройти через внешнюю точку и не пересечь исходную.

Параллельные прямые в евклидовой геометрии — это прямые одной плоскости, которые не пересекаются. Слово «одной» важно: для прямых, расположенных в разных плоскостях, это определение не используют. Понятие параллельности позволяет точно описать утверждение пятого постулата и свойства фигур.

Геометрия Лобачевского — неевклидова геометрия, в которой через точку вне прямой проходит более одной прямой, не пересекающей данную. На практике таких прямых бесконечно много. Это определение нужно, чтобы отличать геометрию Лобачевского от евклидовой именно по правилу о параллельных.

Неевклидова геометрия — геометрия, построенная на иных исходных предположениях, чем евклидова. Иными словами, меняется не отдельное вычисление, а одно из правил, на которых основана вся система. Это понятие помогает понять, почему геометрия Лобачевского — не ошибка внутри привычной геометрии, а самостоятельный вариант геометрии.

Как это устроено

Евклид сформулировал несколько исходных положений, из которых выводятся теоремы геометрии. Первые постулаты обычно воспринимаются как короткие и наглядные, например возможность провести прямую через две точки. Пятый постулат устроен сложнее: он касается поведения прямых и требует говорить о том, что происходит далеко от точки пересечения. Поэтому он казался менее очевидным и вызывал сомнения.

Если утверждение выглядит сложным, естественно проверить, нельзя ли доказать его из уже принятых правил. Именно поэтому математики столетиями пытались вывести пятый постулат из остальных постулатов Евклида. Но такие доказательства либо незаметно использовали предположение, равносильное пятому постулату, либо содержали ошибку. Постепенно стало ясно, что вопрос может быть не в удачном доказательстве, а в независимости этого правила от остальных.

Тогда возник следующий вопрос: можно ли построить геометрию, если принять другое утверждение о прямых, не пересекающих данную? Лобачевский исследовал именно такую возможность. Он отказался от единственности параллельной и последовательно вывел следствия нового предположения. Причина интереса к этому подходу была в том, чтобы проверить, обязательно ли привычное правило следует из остальных основ геометрии.

Лобачевский показал, что отрицание единственности не приводит к логическому противоречию. Вместо одной непересекающей прямой через внешнюю точку в его геометрии проходят более одной, а в полной системе — бесконечно много. Поэтому меняется не только ответ на вопрос о параллельных: иначе ведут себя и геометрические фигуры. Например, сумма углов треугольника в этой геометрии меньше 180°.

В евклидовой геометрии сумма углов каждого треугольника равна 180°, а в геометрии Лобачевского — меньше 180°. Это не означает, что в одной из систем неправильно измерили углы: правила, принятые в них, различаются. Открытие Лобачевского изменило взгляд на аксиомы: они не обязательно являются единственными самоочевидными описаниями пространства, а могут задавать разные непротиворечивые геометрии.

Сравнение евклидовой геометрии и геометрии Лобачевского

Сначала сравнивайте число прямых через внешнюю точку: это непосредственно показывает, какое предположение принято о параллельных. Затем проверьте сумму углов треугольника — она служит связанным с этим предположением признаком геометрии. Не переносите свойства из одного столбца в другой: каждая колонка описывает свою систему правил.

Разбор задач

Задача 1. Сформулируйте пятый постулат Евклида через прямую и точку, не лежащую на ней. Нужно определить не только, какие прямые рассматриваются, но и сколько их проходит через точку. Это позволит не спутать постулат с общим определением параллельности.

1. Назовём данную прямую и точку, которая ей не принадлежит. Уточним, что искомая прямая должна проходить через эту точку и не пересекать данную.
2. Пятый постулат устанавливает число таких прямых, а не только говорит, что одна из них существует. По постулату это число равно одной.
3. Подставим результат в формулировку: через точку вне прямой можно провести ровно одну параллельную данной прямую. Слово «ровно» передаёт условие единственности.

Ответ: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит ровно одна прямая, параллельная данной.

Задача 2. В некоторой геометрии через точку вне прямой проходят две прямые, не пересекающие её. Можно ли считать эту геометрию евклидовой? Сопоставим условие задачи с числом прямых, которое задаёт пятый постулат.

1. В евклидовой геометрии через внешнюю точку проходит ровно одна прямая, не пересекающая данную. Это не просто наличие подходящей прямой, но и отсутствие второй.
2. По условию таких прямых две. Значит, единственность нарушена, и пятый постулат в евклидовой формулировке не выполняется.
3. Геометрия с таким правилом не является евклидовой. Само условие ещё не называет все её свойства, но указывает на неевклидов подход к параллельным.

Ответ: нет, такую геометрию нельзя считать евклидовой, поскольку непересекающих прямых больше одной.

Задача 3. В треугольнике сумма углов меньше 180°. Какое представление о параллельных соответствует этому факту и к какой геометрии относится треугольник? Важно не ограничиваться одним числом, а связать его с системой геометрических правил.

1. В евклидовой геометрии сумма углов треугольника равна 180°. Следовательно, данное условие не соответствует евклидовому случаю.
2. Сумма меньше 180° — свойство треугольника в геометрии Лобачевского. В ней через точку вне прямой проходит более одной прямой, не пересекающей данную.
3. Свяжем оба признака: отличающееся правило о параллельных сопровождается иной суммой углов треугольника. Поэтому треугольник рассматривается в геометрии Лобачевского.

Ответ: этому факту соответствует геометрия Лобачевского, где через точку вне прямой проходит больше одной непересекающей её прямой.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать, что пятый постулат уже доказан как теорема. Так думают, потому что в обычных задачах его следствия постоянно используют, и он кажется привычным свойством прямых. Но в евклидовой системе это исходное положение, а не вывод из остальных постулатов. Проверка: спросите себя, дано ли доказательство постулата из других правил или его просто приняли в качестве основы.

Вторая ошибка — называть параллельными любые прямые, которые не пересеклись на рисунке. На чертеже виден только ограниченный участок, а прямые в определении рассматриваются целиком. Кроме того, определение относится к прямым одной плоскости. Проверка: учитывайте всю плоскость и не делайте вывод о непересечении только по коротким отрезкам изображения.

Третья ошибка — утверждать, что в геометрии Лобачевского через внешнюю точку проходит ровно одна прямая, не пересекающая данную. Это число относится к евклидовой формулировке, поэтому его легко перенести по привычке. У Лобачевского таких прямых больше одной. Проверка: сравните число прямых из условия с тем, что говорит пятый постулат.

Четвёртая ошибка — считать, что сумма углов любого треугольника равна 180°. Это верно в евклидовой геометрии, но не во всех геометрических системах. В геометрии Лобачевского сумма меньше 180°, поэтому важно знать, в какой геометрии рассматривают фигуру. Проверка: сначала определите принятую систему аксиом, а затем используйте соответствующее свойство.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужно знать, что такое точка, прямая и плоскость, уметь понимать определение параллельных прямых и различать аксиому и теорему. Связь с геометрией треугольника проявляется в сумме его углов: это свойство зависит от исходных правил геометрии. Идея неевклидовых геометрий пригодится при дальнейшем знакомстве с основаниями математики и геометрическими моделями. Она учит проверять, какие выводы зависят от выбранных аксиом.

Что запомнить

• Пятый постулат — одно из исходных положений евклидовой геометрии.
• В евклидовой геометрии через точку вне прямой проходит ровно одна параллельная ей прямая.
• Лобачевский построил геометрию, в которой таких прямых больше одной.
• В геометрии Лобачевского сумма углов треугольника меньше 180°.
• Пятый постулат нельзя получить как теорему из остальных постулатов Евклида.
• Открытие Лобачевского показало, что геометрию можно строить на разных исходных аксиомах.