§ 1. Понятие множества

Определения и обозначения

Множество — совокупность объектов, рассматриваемых как единое целое. Например, числа 1, 2 и 3 образуют числовое множество {1, 2, 3}, а гласные буквы русского алфавита — предметное множество. Такое понятие помогает коротко говорить о группе объектов и изучать её как один математический объект.

Элемент множества — отдельный объект, входящий в состав множества. Например, число 2 — элемент множества {1, 2, 3}, а буква «а» — элемент множества гласных букв. Множества обычно обозначают заглавными буквами A, B, C, а элементы — строчными a, b, c: так можно различить всю совокупность и объект внутри неё.

Принадлежность множеству показывает, входит ли объект в состав множества. Запись a ∈ A читают «a принадлежит A», а a ∉ A — «a не принадлежит A»; например, 2 ∈ {1, 2, 3}, но 4 ∉ {1, 2, 3}. Эти знаки позволяют точно сообщить, является ли выбранный объект элементом данного множества.

Пустое множество — множество, в котором нет ни одного элемента. Его обозначают символом ∅, например множество натуральных чисел, меньших 1, пусто. Это обозначение нужно, когда условие не подходит ни одному объекту: вместо перечисления элементов записывают ∅.

Как это устроено

Множество рассматривают как единый объект, потому что часто важно говорить не об отдельных предметах, а обо всей их группе. Например, можно проверить, принадлежит ли число заданной совокупности, не перечисляя каждый раз её элементы словами. При этом множество и его элемент — разные объекты: если A = {1, 2, 3}, то A обозначает всю группу, а 2 — один её участник. Это различие помогает правильно выбирать математические знаки и формулировать условия.

Самый прямой способ задать множество — перечислить его элементы в фигурных скобках: например, {2, 4, 6, 8}. Порядок записи не определяет состав группы, поэтому число 2 не становится «первым элементом» в особом смысле, а запись {8, 6, 4, 2} задаёт ту же совокупность. Такой способ удобен, если элементов немного и все их можно назвать. Для очень большого или бесконечного множества перечисление не подходит, поэтому используют описание.

При задании свойством называют общий признак, которому должен отвечать каждый элемент. Например, запись {x | x — чётное натуральное число} означает «все x такие, что x — чётное натуральное число», то есть {2, 4, 6, 8, …}. Чтобы понять такое описание, прочитай условие после вертикальной черты и подбери объекты, которые ему удовлетворяют. Если множество ограничено, найденные элементы можно затем перечислить в фигурных скобках.

Повторная запись одного объекта не меняет состав множества, потому что множество отвечает на вопрос «какие объекты входят?», а не «сколько раз объект записан?». В записях {1, 1, 2} и {1, 2} присутствуют одни и те же числа — 1 и 2. Поэтому при сравнении или подсчёте элементов повтор нужно отбросить. Этот принцип также не позволяет ошибочно считать одну и ту же вещь разными элементами только из-за повторения в записи.

Два множества равны, если в них входят одни и те же элементы. Поэтому для равенства не имеет значения ни порядок перечисления, ни повторная запись: {1, 2, 3} и {3, 2, 1, 1} равны. Проверяя равенство, убедись, что каждый элемент первого множества есть во втором и каждый элемент второго есть в первом. Если хотя бы один элемент не совпадает, множества не равны.

Основные обозначения и способы задания множеств

Сначала определи, что именно записано: название множества, элемент, знак принадлежности или способ задания. Если элементов немного, удобно перечислить их; если их много или бесконечно, яснее описать общее свойство. При проверке записей не забывай, что порядок и повторы не меняют множество.

Разбор задач

Задача 1. Записать множество гласных букв русского алфавита и указать, принадлежат ли ему буквы «а», «б» и «у». Нужно сначала вспомнить все гласные, а затем проверить каждую из трёх букв по условию. Множество зададим перечислением, после чего запишем результаты с помощью знаков ∈ и ∉.

1. Перечислим гласные русского алфавита: A = {а, е, ё, и, о, у, ы, э, ю, я}.
2. Буквы «а» и «у» входят в полученный список, поэтому а ∈ A и у ∈ A.
3. Буквы «б» в списке нет, значит, б ∉ A. Проверка основана на сравнении буквы с каждым элементом множества.

Ответ: A = {а, е, ё, и, о, у, ы, э, ю, я}; а ∈ A, б ∉ A, у ∈ A.

Задача 2. Определить, равны ли множества A = {1, 2, 3, 4} и B = {4, 2, 1, 3, 3}. На первый взгляд записи отличаются: элементы расположены иначе, а число 3 повторено. Для равенства важно проверить состав, а не внешний вид перечисления.

1. В A есть числа 1, 2, 3 и 4; каждое из них записано в B.
2. В B также нет числа, которого не было бы в A: повторная запись 3 не добавляет новый элемент.
3. Значит, оба множества состоят из одинаковых чисел, и по определению они равны.

Ответ: A = B.

Задача 3. Перечислить натуральные делители числа 24, однозначные натуральные числа и натуральные числа, меньшие 1. Натуральный делитель делит 24 без остатка; однозначное натуральное число записывается одной цифрой. Последнее условие проверим с учётом того, что натуральные числа начинаются с 1.

1. Проверяем натуральные числа от 1 до 24 и оставляем те, на которые 24 делится без остатка: {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}.
2. Однозначные натуральные числа — положительные числа от 1 до 9: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
3. Натуральных чисел, меньших 1, нет, поэтому третье множество пустое и обозначается ∅.

Ответ: {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}; {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; ∅.

Типичные ошибки

Ошибка — считать порядок элементов существенным и объявлять {1, 2, 3} и {3, 2, 1} разными множествами. Так думают, перенося на множества привычный порядок списка или последовательности. Проверь себя: выпиши элементы обеих записей без учёта их мест и сравни получившиеся наборы. Здесь наборы совпадут, значит, множества равны.

Ошибка — считать повторяющиеся записи разными элементами и утверждать, что {1, 1, 2} содержит три элемента. Повтор легко принять за новый объект, если ориентироваться на количество записанных символов. Для проверки оставь по одному экземпляру каждого значения: останутся 1 и 2, то есть два элемента. В множестве учитывается состав, а не частота записи.

Знак ∈ обозначает принадлежность элемента множеству, а ⊂ — включение одного множества в другое. Их путают из-за похожего смысла слов «входит» и «содержится», но объекты по сторонам знаков различаются. Проверь запись: в 2 ∈ {1, 2, 3} слева стоит элемент, а при отношении ⊂ слева должно быть множество. Поэтому нельзя писать 2 ⊂ A, если 2 — отдельное число.

Пустое множество ∅ — не то же самое, что множество, содержащие элемент ∅, например {∅}. Ошибка возникает, когда символ воспринимают как название объекта внутри фигурных скобок, хотя сам по себе он обозначает отсутствие элементов. Проверь, есть ли в записи фигурные скобки вокруг ∅: множество ∅ пусто, а {∅} содержит один элемент — пустое множество. Значит, эти записи обозначают разные множества.

Связь с другими темами

Для работы с множествами полезно уверенно различать натуральные, целые и рациональные числа, пользоваться буквенными обозначениями и читать символы ∈ и ∉. Дальше понятие множества понадобится при изучении подмножеств, операций над множествами и числовых промежутков. Оно также помогает задавать область определения функции — допустимые значения аргумента — и множество её значений, то есть результаты, которые принимает функция.

Что запомнить

• Множество — совокупность объектов, рассматриваемая как единое целое.
• Множества обозначают заглавными буквами, а их элементы — строчными.
• Запись a ∈ A означает, что элемент a принадлежит множеству A.
• Порядок записи элементов множества не важен.
• Повторение элемента не меняет множество.
• Два множества равны, если имеют одни и те же элементы.
• Пустое множество не содержит элементов и обозначается ∅.