§ 2. Объединение и пересечение множеств

Определения и обозначения

Объединение множеств A и B — множество элементов, которые принадлежат хотя бы одному из них; его обозначают A ∪ B. Например, если число есть в A, в B или сразу в обоих множествах, оно входит в объединение. Это обозначение нужно, чтобы кратко записывать общий набор элементов, собранный из двух множеств.

Пересечение множеств A и B — множество элементов, которые принадлежат одновременно обоим множествам; его обозначают A ∩ B. Чтобы проверить, попадает ли элемент в пересечение, нужно убедиться, что он есть и в A, и в B. Пересечение помогает выделить общую часть множеств.

Непересекающиеся множества — множества, у которых нет общих элементов. Их пересечение равно пустому множеству: A ∩ B = ∅. Это понятие позволяет сразу понять, что общей части нет, даже если в каждом множестве есть свои элементы.

Пустое множество — множество, не содержащее ни одного элемента; его обозначают ∅. Оно не является множеством без названия: это результат, например, пересечения непересекающихся множеств. Символ ∅ нужен, чтобы точно записать отсутствие элементов.

Как это устроено

При составлении объединения берут все элементы из A и все элементы из B. Если один элемент встретился в обоих списках, его записывают только один раз, потому что в множестве важен сам факт принадлежности, а не число повторений. Поэтому для конечных множеств удобно сначала просмотреть элементы обоих списков, а затем убрать дубли.

В пересечение попадают только элементы, общие для двух множеств. Проверка каждого кандидата состоит из двух вопросов: принадлежит ли он A и принадлежит ли он B? Если на оба вопроса ответ «да», элемент входит в A ∩ B; если хотя бы один ответ «нет», он не входит. Так определяется пересечение даже тогда, когда элементы заданы не списком, а условием.

Условие для объединения записывают словами «принадлежит A или B». Здесь «или» не исключает случай, когда элемент принадлежит сразу обоим множествам: достаточно, чтобы он был хотя бы в одном. Условие пересечения содержит союз «и», потому что элемент должен пройти обе проверки одновременно. Различие между «или» и «и» помогает выбрать нужную операцию при решении задач.

На диаграмме Эйлера — Венна множества изображают областями, часто кругами. Для объединения рассматривают обе области целиком, включая их общую часть, поскольку элементы каждой области подходят условию «хотя бы одно». Для пересечения выделяют только место, где области накладываются друг на друга: именно там находятся элементы обоих множеств. Диаграмма наглядно показывает, почему результаты операций различаются.

Если множества не имеют общих элементов, выделить общую часть невозможно, поэтому их пересечение равно ∅. Если же A содержится в B, каждый элемент A уже принадлежит B: значит, пересечение не может быть больше A, а объединение не добавляет к B ничего нового. Поэтому в этом случае A ∩ B = A, а A ∪ B = B. Эти свойства позволяют находить результат без повторного перебора всех элементов.

Сравнение объединения и пересечения множеств

Чтобы пользоваться таблицей, сначала определите, требуется собрать элементы хотя бы одного множества или найти только общие. Затем примените соответствующее условие в третьем столбце. Последний столбец помогает проверить, правильно ли вы поняли результат.

Разбор задач

Задача 1. Даны A = {1, 2, 3} и B = {3, 4}. Найдите A ∪ B и A ∩ B. Сначала сравним списки, чтобы не спутать элементы, которые есть только в одном множестве, с общими. Затем отдельно запишем полный набор без повторений и общие элементы.

1. Начинаем с A: в нём есть 1, 2 и 3.
2. Добавляем элементы B, которых ещё не было: это 4, так как 3 уже записана.
3. Проверяем, какие числа есть в обоих списках: таким числом является 3.

Ответ: A ∪ B = {1, 2, 3, 4}, A ∩ B = {3}. Число 3 входит в объединение, но только один раз, и одновременно составляет всё пересечение. Проверка по условиям простая: каждый элемент объединения есть хотя бы в одном множестве, а элемент пересечения — в обоих.

Задача 2. Даны A = {x ∈ ℤ | −2 ≤ x ≤ 2} и B = {x ∈ ℤ | 0 ≤ x ≤ 4}. Найдите A ∪ B и A ∩ B. Символ ℤ означает множество целых чисел, поэтому сначала перечислим целые числа в заданных границах. После этого можно применить определения операций к обычным спискам.

1. Выписываем A: A = {−2, −1, 0, 1, 2}.
2. Выписываем B: B = {0, 1, 2, 3, 4}.
3. Собираем все числа без повторений для объединения и выбираем числа, встретившиеся в обоих списках, для пересечения.

Ответ: A ∪ B = {−2, −1, 0, 1, 2, 3, 4}, A ∩ B = {0, 1, 2}. Здесь границы целые и включены условиями ≤, поэтому −2 и 2 входят в A, а 0 и 4 — в B. Пересечение начинается с 0 и заканчивается 2, поскольку только эти числа удовлетворяют обоим условиям.

Задача 3. Найдите объединение и пересечение промежутков A = [−3; 2) и B = [1; 5]. Квадратная скобка показывает включённую границу, а круглая — границу, которая не входит. На числовой прямой промежутки перекрываются от 1 до 2, причём 1 входит в оба, а 2 не входит в A.

1. Для объединения берём все точки, попавшие хотя бы в один промежуток: от −3 до 5.
2. Точка −3 включена в A, а точка 5 включена в B, поэтому обе границы объединения закрыты.
3. Для пересечения берём только общие точки: от 1 включительно до 2, не включая 2.

Ответ: A ∪ B = [−3; 5], A ∩ B = [1; 2). Проверка границ предотвращает ошибку: число 1 входит в оба промежутка, а число 2 отсутствует в A. Поэтому в пересечении у 1 квадратная, а у 2 круглая граница.

Типичные ошибки

Ошибка: в объединение включают только общие элементы, фактически находя пересечение. Так происходит, если слово «объединение» воспринимают как «то, что совпадает». Проверьте себя: каждый элемент результата должен принадлежать хотя бы одному исходному множеству, в том числе элементы, встречающиеся лишь в одном из них.

Ошибка: в пересечение записывают все элементы обоих множеств. Обычно путают его с объединением и забывают о требовании принадлежности одновременно A и B. Для проверки возьмите каждый записанный элемент и задайте два вопроса: есть ли он в A и есть ли он в B; оба ответа должны быть утвердительными.

Ошибка: общий элемент указывают в объединении дважды. Это может показаться естественным, если объединять два списка простым копированием, но множество не учитывает повторы. Сверьте итоговый список и удалите повторяющиеся записи, оставив каждый элемент один раз.

Ошибка: неверно учитывают концы промежутков. Круглую скобку могут принять за включённую границу, хотя она означает, что точка не принадлежит промежутку; квадратная, наоборот, включает точку. Проверьте отдельно каждую границу по исходной записи и только после этого поставьте скобки в ответе.

Связь с другими темами

Чтобы работать с операциями, нужно знать, что такое множество, его элементы и запись принадлежности, например x ∈ A. Объединение и пересечение особенно полезны при решении неравенств и систем условий: ответ можно представить одним или несколькими промежутками. Они также помогают описывать множества решений и преобразовывать логические условия, связывая «или» с объединением, а «и» — с пересечением.

Что запомнить

• A ∪ B содержит элементы, принадлежащие хотя бы одному из множеств.
• A ∩ B содержит элементы, принадлежащие обоим множествам.
• Общий элемент в объединении записывают один раз.
• Для непересекающихся множеств A ∩ B = ∅.
• Если A ⊂ B, то A ∩ B = A, а A ∪ B = B.
• При работе с промежутками важно учитывать включённость концов.