§ 1. Скалярное произведение векторов

Определения и обозначения

Скалярное произведение векторов — число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: a · b = |a| · |b| · cos α. Здесь a и b — векторы, |a| и |b| — их длины, а α — угол между ними. Точка означает операцию скалярного умножения, а вертикальные черты вокруг буквы обозначают длину вектора. Такая запись нужна, чтобы связать геометрическое расположение векторов с числом, которое можно вычислить.

Угол между векторами — угол между лучами, которые получаются, если отложить оба вектора от одной точки. Его величина всегда находится от 0° до 180° включительно. Если векторы уже имеют общую начальную точку, угол между ними виден непосредственно; иначе один из них параллельно переносят к началу другого. Это определение помогает однозначно выбрать угол для формулы, даже если векторы на чертеже направлены в разные стороны.

Для векторов с координатами a = (x₁; y₁) и b = (x₂; y₂) скалярное произведение вычисляют по правилу a · b = x₁x₂ + y₁y₂. Нужно перемножить первые координаты, затем вторые и сложить два результата. Формула особенно полезна, когда координаты известны, а угол или длины находить неудобно. В пространстве к сумме добавляют произведение третьих координат, но здесь рассматриваются векторы на плоскости.

Как это устроено

В геометрической формуле перемножаются длины векторов и косинус угла, поэтому итогом оказывается обычное число. Длины неотрицательны, а косинус показывает, насколько направления векторов совпадают или расходятся. Если один из векторов нулевой, его длина равна нулю, поэтому произведение тоже равно нулю. Так формула учитывает и размеры векторов, и их взаимное направление.

Знак произведения определяется косинусом угла, поскольку длины ненулевых векторов положительны. Для острого угла косинус положителен, значит, положительно и произведение; при прямом угле косинус равен нулю. Для тупого угла косинус отрицателен, поэтому произведение отрицательно. Следовательно, знак позволяет судить о виде угла, даже если его точная величина неизвестна.

Координатную формулу можно получить, записав векторы через единичные направления координатных осей. При раскрытии произведения смешанные слагаемые исчезают: направления осей перпендикулярны, а косинус прямого угла равен нулю. Остаются произведения координат по одной и той же оси, то есть x₁x₂ и y₁y₂. Поэтому сложение этих двух чисел даёт то же скалярное произведение, что и геометрическая формула, но вычислять угол не требуется.

У произведения есть свойства, удобные для преобразований: a · b = b · a, а также (a + b) · c = a · c + b · c. Переместительность следует из формулы: произведение длин и косинус угла не меняется, если поменять векторы местами. Распределительность согласуется с координатной формулой, где сложение векторов означает сложение соответствующих координат. Если умножить вектор на самого себя, угол будет равен 0°, а cos 0° = 1, поэтому a · a = |a|².

Для ненулевых векторов перпендикулярность равносильна нулевому скалярному произведению. Действительно, при прямом угле косинус равен нулю, поэтому геометрическая формула даёт ноль. И наоборот, если произведение равно нулю, а длины векторов не равны нулю, нулевым должен быть косинус угла. На промежутке от 0° до 180° это происходит только при угле 90°.

Скалярное произведение: формулы и следствия

Сначала выберите строку, соответствующую тому, что дано в задаче: координаты, длины с углом или условие перпендикулярности. Затем примените формулу и проверьте, что вывод согласуется с условием. Например, отрицательный ответ для двух ненулевых векторов означает тупой угол.

Разбор задач

Задача 1. Длины двух векторов равны 3 и 4, угол между ними равен 60°. Найдите их скалярное произведение. Здесь известны именно величины из геометрической формулы, поэтому не требуется переходить к координатам. Сначала подставим данные, а затем вычислим косинус известного угла.

1. Запишем формулу: a · b = |a| · |b| · cos α.
2. Подставим длины и угол: a · b = 3 · 4 · cos 60°.
3. Так как cos 60° = ½, получим 3 · 4 · ½ = 6.

Ответ: 6.

Задача 2. Даны векторы a = (2; −1) и b = (3; 4). Найдите их скалярное произведение и определите, острый или тупой угол они образуют. Координаты уже известны, поэтому удобнее воспользоваться координатной формулой. После вычисления знак результата подскажет вид угла, поскольку оба вектора ненулевые.

1. Перемножим первые координаты: 2 · 3 = 6, а вторые: (−1) · 4 = −4.
2. Сложим произведения: a · b = 6 + (−4) = 2.
3. Получилось положительное число. Значит, косинус угла положителен, и угол между векторами острый.

Ответ: скалярное произведение равно 2, угол острый.

Задача 3. Найдите значение параметра k, при котором векторы a = (k; 2) и b = (3; −6) перпендикулярны. Для перпендикулярных векторов скалярное произведение равно нулю, поэтому условие задачи превращается в уравнение. Важно учесть обе пары соответствующих координат, а не только одну из них.

1. Запишем скалярное произведение: a · b = k · 3 + 2 · (−6).
2. Приравняем его к нулю: 3k − 12 = 0.
3. Решим уравнение: 3k = 12, поэтому k = 4. При этом векторы ненулевые, так что условие перпендикулярности применимо.

Ответ: k = 4.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать скалярное произведение вектором. Так происходит из-за слова «векторы» в названии операции, но результатом по определению является число. Проверить себя просто: после вычислений координатной формулы x₁x₂ + y₁y₂ получается одно числовое значение, а не пара координат.

Вторая ошибка — перемножить координаты не по порядку или забыть сложить произведения. При записи векторов легко спутать координаты из-за того, что они стоят рядом. Сверьте вычисление с шаблоном x₁x₂ + y₁y₂: сначала первые координаты, затем вторые, после чего обязательно сложите результаты.

Третья ошибка — подставить в формулу косинус угла между вектором и осью вместо угла между двумя векторами. Это путают, если на чертеже один вектор расположен вдоль оси, а другой наклонён. Перед вычислением проверьте, что угол образован именно лучами, направленными как оба вектора; при необходимости перенесите их к общей начальной точке.

Четвёртая ошибка — объявить векторы перпендикулярными, потому что одно произведение координат равно нулю. Например, нулевая первая координата не отменяет вклада вторых координат. Перпендикулярность подтверждает только равенство нулю всей суммы x₁x₂ + y₁y₂; после вычисления проверьте оба слагаемых и их сумму.

Связь с другими темами

Чтобы работать со скалярным произведением, нужно знать, что такое вектор, его длина и координаты, а также уметь находить угол между векторами. Новая операция соединяет эти понятия: длины и угол дают геометрическую формулу, а координаты — способ вычислить тот же результат. Скалярное произведение используют, чтобы проверять перпендикулярность и определять, острый или тупой угол образуют векторы. Оно также пригодится при выводе формул расстояния, вычислении углов и решении задач стереометрии.

Что запомнить

• Скалярное произведение двух векторов — число.
• a · b = |a| · |b| · cos α.
• Для координат a = (x₁; y₁), b = (x₂; y₂): a · b = x₁x₂ + y₁y₂.
• a · a = |a|².
• Скалярное произведение равно нулю, если ненулевые векторы перпендикулярны.
• Положительное произведение соответствует острому углу, отрицательное — тупому.