§ 2. Применения скалярного произведения векторов

Определения и обозначения

Скалярное произведение векторов a и b — число, равное произведению их длин на косинус угла между ними: a · b = |a| · |b| · cos φ. Знак · обозначает именно скалярное произведение, а вертикальные черты — длину вектора. Геометрический смысл формулы в том, что результат зависит и от длин векторов, и от того, насколько они направлены в одну сторону.

Угол между ненулевыми векторами — меньший угол между лучами, сонаправленными с этими векторами; он лежит от 0° до 180°. По знаку произведения можно судить о виде этого угла: положительный знак соответствует острому углу, отрицательный — тупому, а ноль — прямому. Поэтому угол можно исследовать даже тогда, когда он не нарисован.

Координатная формула скалярного произведения на плоскости для a = (x₁; y₁) и b = (x₂; y₂) имеет вид a · b = x₁x₂ + y₁y₂. Нужно перемножить первые координаты между собой, вторые — между собой, а затем сложить результаты. Формула позволяет работать с числовыми данными, не строя векторы на чертеже.

Два ненулевых вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю: a · b = 0. Это условие удобно проверять вычислением, особенно если векторы заданы координатами. Нулевой вектор тоже имеет нулевое произведение с любым вектором, поэтому вывод о перпендикулярности по этому признаку делают для ненулевых векторов.

Как это устроено

Геометрическая формула содержит косинус угла, поэтому угол можно найти, выразив его: cos φ = (a · b) / (|a| · |b|). Сначала вычисляют скалярное произведение, затем делят его на произведение длин и находят угол, косинус которого получился. Деление на длины необходимо, потому что само произведение зависит не только от направления, но и от размеров векторов.

Координатная формула работает потому, что координаты показывают составляющие вектора вдоль двух взаимно перпендикулярных осей. Вклад в произведение дают пары составляющих вдоль одной и той же оси: x₁ с x₂ и y₁ с y₂. Составляющие вдоль разных осей не складываются в скалярное произведение, так как направления осей перпендикулярны.

Если векторы ненулевые, их длины положительны, поэтому знак скалярного произведения совпадает со знаком cos φ. Косинус острого угла положителен, тупого — отрицателен, а прямого — равен нулю. Так геометрическое положение векторов становится понятным по результату обычного вычисления.

Чтобы найти длину вектора, подставляют один и тот же вектор в оба места произведения: a · a = |a| · |a| · cos 0° = |a|². Отсюда |a| = √(a · a), а для координат a = (x; y) это даёт |a| = √(x² + y²). Такой способ связывает формулу произведения с известной формулой длины по координатам.

У прямой есть направляющий вектор — ненулевой вектор, параллельный этой прямой. Если известны направляющие векторы двух прямых, их скалярное произведение позволяет проверить, перпендикулярны ли сами прямые. Причина в том, что угол между направлениями прямых равен углу между их направляющими векторами с точностью до выбора смежного угла, а нулевое произведение означает перпендикулярность.

Применения скалярного произведения векторов

Сначала выберите в таблице нужную геометрическую задачу, затем проверьте, какие данные известны и какую формулу можно применить. Если векторы заданы координатами, произведение обычно удобнее вычислить по координатной формуле. При проверке перпендикулярности отдельно убедитесь, что рассматриваемые векторы ненулевые.

Разбор задач

Задача 1. Даны векторы a = (3; 4) и b = (4; −3). Определите, перпендикулярны ли они. Нужно проверить условие a · b = 0, поэтому сначала перемножим соответствующие координаты и сложим результаты.

1. Вычислим произведение: a · b = 3 · 4 + 4 · (−3).
2. Получаем 12 − 12 = 0.
3. Оба вектора ненулевые, значит, нулевое произведение доказывает их перпендикулярность.

Ответ: векторы перпендикулярны.

Задача 2. Найдите угол между a = (1; 1) и b = (1; 0). Чтобы применить геометрическую формулу, сначала найдём произведение, затем длины и только после этого косинус угла. Такой порядок не позволяет забыть деление на произведение длин.

1. Скалярное произведение: a · b = 1 · 1 + 1 · 0 = 1.
2. Длины: |a| = √(1² + 1²) = √2, |b| = √(1² + 0²) = 1.
3. cos φ = 1 / (√2 · 1) = √2 / 2, поэтому φ = 45°.

Ответ: 45°.

Задача 3. При каком значении m векторы a = (m; 2) и b = (3; −6) перпендикулярны? Неизвестный параметр входит в координату, поэтому подставим координаты в условие нулевого скалярного произведения. Получится уравнение, которое и задаёт нужное значение m.

1. Запишем произведение: a · b = 3m + 2 · (−6).
2. При перпендикулярности 3m − 12 = 0.
3. Решаем уравнение: 3m = 12, откуда m = 4. Векторы при этом ненулевые.

Ответ: m = 4.

Типичные ошибки

Скалярное произведение иногда путают с векторным и записывают результат как вектор. Ошибка возникает из-за того, что в обоих случаях работают с парой векторов, но скалярное произведение по определению даёт число. Проверьте себя: координатная формула заканчивается суммой чисел, а не парой координат.

При поиске угла некоторые делят скалярное произведение только на одну длину или вовсе используют его как косинус. Так забывают, что в формуле стоят длины обоих векторов: cos φ = (a · b) / (|a| · |b|). Перед вычислением проверьте, что знаменатель содержит произведение двух длин.

Нулевое произведение могут ошибочно считать признаком того, что один из векторов обязательно нулевой. Это неверно: два ненулевых перпендикулярных вектора также имеют нулевое произведение. Убедитесь, что длины векторов положительны, прежде чем делать вывод о перпендикулярности.

Ошибка в знаке координаты меняет результат и может привести к неверному выводу об остром или тупом угле. Особенно внимательно умножайте отрицательные числа и ставьте скобки, например 4 · (−3). Для проверки повторите вычисления по строкам и сопоставьте знак произведения с видом угла.

Связь с другими темами

Для работы с темой понадобятся координаты и длина вектора, формула косинуса угла, а также признаки перпендикулярности прямых. Эти знания помогают перейти от геометрического вопроса к вычислению по координатам. Если координаты пока вызывают трудности, полезно сначала повторить их смысл и формулу длины.

Скалярное произведение пригодится в задачах на углы и расстояния, уравнения прямых и координатную геометрию. Оно позволяет записывать геометрические условия в виде уравнений и проверять их вычислениями. Поэтому один и тот же приём встречается в разных типах задач.

Позже скалярное произведение используют при изучении проекций, механики и аналитической геометрии. Например, оно помогает описывать, насколько одно направление совпадает с другим. Освоенные сейчас формулы станут основой для этих применений.

Что запомнить

• Скалярное произведение двух векторов — число.
• a · b = |a| · |b| · cos φ.
• В координатах a · b = x₁x₂ + y₁y₂.
• Для ненулевых векторов a · b = 0 тогда и только тогда, когда они перпендикулярны.
• Положительное скалярное произведение соответствует острому углу, отрицательное — тупому.
• Длина вектора определяется равенством |a|² = a · a.