§ 1. Степенная функция с целым показателем

Определения и обозначения

Степенная функция — функция вида y = xⁿ, где n — фиксированное целое число. Это обобщение знакомых функций y = x² и y = x³: меняя показатель, мы получаем функции с разными графиками и свойствами. Показатель выбирают один раз; если он меняется вместе с x, это уже не одна такая функция.

Целый показатель степени — число n из ряда …, −2, −1, 0, 1, 2, … . Положительную степень xⁿ записывают как произведение n множителей x, например x³ = x · x · x. Нулевой и отрицательные показатели задаются отдельными правилами, поэтому важно уметь отличать их от положительных.

Нулевая степень задаётся равенством x⁰ = 1 при x ≠ 0. Например, 5⁰ = 1; это правило позволяет согласовать степени с известными свойствами умножения. Ноль исключают, потому что выражение 0⁰ не определено: правило нулевой степени не распространяется на основание 0.

Отрицательная степень определяется равенством x⁻ⁿ = 1/xⁿ при x ≠ 0 и n > 0. Например, 2⁻³ = 1/2³ = 1/8. Отрицательный показатель означает переход к обратной величине, а не смену знака числа; это правило помогает представить функцию с отрицательным показателем как дробь.

Как это устроено

В записи y = xⁿ буква x обозначает входное значение, а n задаёт правило, по которому из него получают y. При n = 2 получается y = x², при n = 3 — y = x³, а другие показатели дают другие закономерности. Показатель должен быть фиксированным, потому что функция связывает каждому x единственное значение по одному неизменному правилу. Поэтому свойства графика можно изучать отдельно для разных показателей.

При положительном целом n умножают x на себя n раз: x⁴ = x · x · x · x. Для отрицательного показателя используют связь степеней: x⁻ⁿ = 1/xⁿ, то есть берут обратное значение положительной степени. Например, при x = 2 значение 2⁻² равно 1/4, а при x = −2 значение (−2)⁻² тоже равно 1/4. Такой переход сразу показывает, почему в знаменателе не может быть нуля.

Если n = 0, каждому допустимому x соответствует одно и то же значение 1. График поэтому лежит на горизонтальной прямой y = 1, но точка с x = 0 не принадлежит ему: выражение 0⁰ не определено. Функция постоянна на своей области определения, которая состоит из всех действительных чисел, кроме нуля. Исключённая точка на прямой графика — (0; 1).

Чётность показателя определяет симметрию через сравнение значений при противоположных аргументах. При чётном n равенство (−x)ⁿ = xⁿ означает, что точки графика слева и справа от оси Oy имеют одинаковую высоту. При нечётном n выполняется (−x)ⁿ = −xⁿ: точке (x; y) соответствует точка (−x; −y), поэтому центр симметрии — начало координат. Для n = 0 график y = 1 симметричен относительно Oy.

При положительном показателе степени определены и при x = 0; чётная степень там равна нулю, а нечётная меняет знак вместе с x. При отрицательном показателе ноль исключён, поскольку он оказался бы в знаменателе. Чем ближе x к нулю, тем больше по модулю становится 1/xⁿ, а при увеличении |x| эта дробь приближается к нулю. Чётность при этом задаёт знак: отрицательная чётная степень положительна с обеих сторон от нуля, а отрицательная нечётная имеет знак x.

Свойства степенных функций y = xⁿ

Чтобы пользоваться таблицей, сначала определите знак показателя, а затем его чётность: это даст область определения, значения и симметрию. Для отрицательного показателя дополнительно проверьте, что x ≠ 0, и помните, что поведение слева и справа от нуля у нечётной степени различается. В столбце n = 0 область определения исключает ноль, хотя функция постоянна на всех остальных x.

Разбор задач

Задача 1. Найти область определения и значения функции y = x⁴.

Нужно выяснить, какие x можно подставлять и какие y получаются. Показатель 4 положительный и чётный, поэтому функция определена при любом действительном x, а результат не может быть отрицательным. Проверим, достигаются ли все неотрицательные значения.

1. Поскольку x⁴ — произведение четырёх одинаковых множителей, оно определено при любом действительном x.
2. Для любого x имеем x⁴ = (x²)² ≥ 0, значит, отрицательных значений функция не принимает.
3. Ноль достигается при x = 0, а любое положительное y достигается при x = ±⁴√y. Следовательно, множество значений — [0; +∞).

Ответ: область определения — все действительные числа; множество значений — [0; +∞).

Задача 2. Построить график y = x⁻² и определить область определения и множество значений.

Отрицательный показатель удобно сначала заменить дробью. Тогда станет виден запрет на x = 0 и станет проще выбрать точки для графика. Так как квадрат ненулевого числа положителен, дробь также будет положительной.

1. Запишем y = x⁻² = 1/x², поэтому область определения: все действительные x, кроме 0.
2. Возьмём точки: при x = ±1 получаем y = 1, при x = ±2 — y = 1/4. Равные значения при противоположных x показывают симметрию относительно Oy.
3. Поставим эти точки и проведём две плавные ветви выше оси Ox. При приближении к нулю значения растут, а при увеличении |x| приближаются к нулю; ни x = 0, ни y = 0 график не пересекает.

Ответ: область определения — x ≠ 0; множество значений — y > 0. График состоит из двух ветвей в первой и второй четвертях.

Задача 3. Сравнить графики y = x⁻³ и y = x⁻².

Обе функции удобно записать дробями: y = 1/x³ и y = 1/x². У них одинаковая область определения, но разные знаки при отрицательных x, потому что показатели имеют разную чётность. Проследим отдельно симметрию и поведение у нуля.

1. В обеих формулах x стоит в знаменателе, поэтому область определения каждой функции: x ≠ 0.
2. Функция y = x⁻² чётная: её график симметричен относительно Oy, а значения положительны при x ≠ 0. Функция y = x⁻³ нечётная: график симметричен относительно начала координат, значения положительны при x > 0 и отрицательны при x < 0.
3. При x → 0⁺ обе функции стремятся к +∞. При x → 0⁻ функция x⁻² также стремится к +∞, а x⁻³ — к −∞.

Ответ: области определения совпадают и исключают 0; y = x⁻² симметрична относительно Oy, а y = x⁻³ — относительно начала координат. Слева от нуля их поведение различается из-за чётности показателя.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что 0⁰ = 1. Правило x⁰ = 1 применяют только при ненулевом основании, а выражение 0⁰ не определено. Его часто принимают за исключение из общего правила, забывая условие x ≠ 0. Проверяйте основание перед применением формулы нулевой степени.

Ошибка: записывать x⁻ⁿ как −xⁿ. Минус в показателе означает обратную степень: x⁻ⁿ = 1/xⁿ, а знак значения зависит от основания и чётности n. Путаница возникает из-за того, что минус в обычной записи числа действительно меняет знак. Проверка: перепишите выражение дробью и подставьте, например, x = 2.

Ошибка: включать x = 0 в область определения функции с отрицательным показателем. После преобразования x⁻ⁿ = 1/xⁿ видно, что при x = 0 знаменатель обращается в ноль. Ноль иногда включают по привычке, потому что для положительных степеней он допустим. Чтобы проверить область определения, сначала запишите отрицательную степень в виде дроби.

Ошибка: считать, что графики с чётным и нечётным показателями симметричны одинаково. При чётном показателе y(−x) = y(x), а при нечётном y(−x) = −y(x). Обычно путают ось симметрии с центром симметрии. Подставьте −x вместо x: полученное равенство покажет, какой вид симметрии подходит.

Связь с другими темами

Для работы со степенными функциями нужны правила степеней с натуральным показателем и умение выполнять действия с дробями: отрицательный показатель превращает степень в дробь. Также пригодятся понятия функции, области определения и множества значений, поскольку их находят по формуле и графику. Симметрию графика можно устанавливать сравнением значений при x и −x. Позже эти знания помогут преобразовывать графики, исследовать рациональные выражения и анализировать свойства функций.

Что запомнить

• Степенная функция имеет вид y = xⁿ, где n — целое число.
• При n > 0 функция определена при всех действительных x.
• При n = 0 функция равна 1, но только при x ≠ 0.
• При n < 0 функция равна 1/x^|n| и не определена при x = 0.
• При чётном n график симметричен относительно оси Oy.
• При нечётном n график симметричен относительно начала координат.
• Отрицательная степень означает обратную величину, а не отрицательное значение.