"Математика: алгебра и геометрия", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Арифметический корень n-й степени — неотрицательное число, которое при возведении в степень n даёт подкоренное число. Он помогает находить неизвестное основание степени и упрощать выражения. При чётном показателе под корнем может стоять только неотрицательное число, а при нечётном допустимо любое действительное число. Знак корня всегда обозначает одно значение, поэтому его важно отличать от всех решений уравнения xⁿ = a.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Корнем n-й степени из числа a называют число x, для которого xⁿ = a. У такого уравнения может быть несколько решений: например, уравнение x² = 9 имеет решения 3 и −3. Это понятие нужно, чтобы описывать все числа, которые при возведении в заданную степень дают a.
Арифметический корень n-й степени из неотрицательного числа a — это неотрицательное число, n-я степень которого равна a; здесь n ≥ 2. Например, арифметический квадратный корень из 9 равен 3, а не −3. Такое определение позволяет выбрать одно значение корня, даже если уравнение имеет несколько решений.
Арифметический корень обозначают символом √[n]{a}. Число n называют показателем корня, а выражение a под знаком корня — подкоренным выражением. Эти обозначения показывают, какую степень нужно возвести в ответ и из какого числа извлекают корень.
Для существования арифметического корня при чётном n подкоренное число должно быть неотрицательным. При нечётном n допускается любое действительное число, в том числе отрицательное. Это условие помогает заранее понять, имеет ли выражение смысл в действительных числах.
Чётную степень действительного числа нельзя получить отрицательной: произведение одинаковых множителей попарно даёт неотрицательный результат. Например, квадрат и четвёртая степень как положительного, так и отрицательного числа положительны, а степень нуля равна нулю. Поэтому уравнение xⁿ = a при чётном n не имеет действительных решений, если a < 0.
Если n чётно и a > 0, то уравнение xⁿ = a имеет два решения. Числа r и −r дают одну и ту же чётную степень, потому что минус при умножении на себя чётное число раз исчезает. Но знак √[n]{a} обозначает именно неотрицательное значение r, а не оба решения сразу.
При нечётном n уравнение xⁿ = a имеет ровно одно действительное решение. Возведение в нечётную степень сохраняет порядок чисел: чем меньше основание, тем меньше его степень, поэтому два разных основания не могут дать одинаковую степень. Отрицательное основание даёт отрицательный результат, положительное — положительный, так что знак корня совпадает со знаком a.
Чтобы проверить значение √[n]{a}, возведите предполагаемый ответ в степень n и убедитесь, что получилось a. Затем учтите, что при чётном n арифметический корень должен быть неотрицательным. Например, √[4]{16} = 2, потому что 2⁴ = 16; значение −2 тоже удовлетворяет уравнению, но не является арифметическим корнем.
Связь корня и степени зависит от чётности n. При чётном n число a и число −a после возведения в степень дают одинаковый результат, а арифметический корень выбирает неотрицательное значение: √[n]{aⁿ} = |a|. При нечётном n знак числа сохраняется, поэтому √[n]{aⁿ} = a. Например, √[4]{(−3)⁴} = 3, а √[3]{(−3)³} = −3.
| Свойство | Чётный показатель n | Нечётный показатель n |
|---|---|---|
| Допустимые значения подкоренного числа | a ≥ 0 | Любое действительное a |
| Знак арифметического корня | Неотрицательный | Совпадает со знаком a; при a = 0 корень равен 0 |
| Количество действительных решений уравнения xⁿ = a при a > 0 | Два | Одно |
| Значение √[n]{aⁿ} для действительного a | |a| | a |
Сначала определите, чётный или нечётный показатель у корня, а затем найдите нужную строку таблицы. Так можно проверить допустимость подкоренного числа и понять, сколько решений будет у соответствующего уравнения. Особенно полезна последняя строка при упрощении выражений.
Задача 1. Вычислите √[4]{81} и √[3]{−27}. Здесь нужно найти числа, четвёртая и третья степени которых равны подкоренным выражениям. Для корня чётной степени выбираем неотрицательное значение, а при нечётном показателе отрицательный ответ возможен. Проверим каждое найденное число возведением в нужную степень.
Ответ: √[4]{81} = 3, √[3]{−27} = −3.
Задача 2. Решите уравнения x⁴ = 16 и x³ = −8. В отличие от вычисления арифметического корня, при решении уравнения нужно найти все подходящие x. Сначала учитываем чётность показателя, затем проверяем найденные числа подстановкой. Это не позволяет потерять отрицательное решение в первом уравнении.
Ответ: x⁴ = 16 имеет решения x = −2 и x = 2; x³ = −8 имеет решение x = −2.
Задача 3. Упростите выражение √[6]{(−2)⁶} + √[5]{(−2)⁵}. Под корнями стоят степени одного и того же отрицательного числа. У первого корня показатель чётный, поэтому результат будет неотрицательным и потребуется модуль. У второго показатель нечётный, поэтому знак числа сохранится.
Ответ: 0.
Для работы с корнями нужны знания о степенях с натуральным показателем, правилах действий со степенями и знаках чисел. Корень позволяет решать уравнения вида xⁿ = a, то есть находить основание по значению степени. Позже это понятие понадобится при изучении степеней с дробным показателем. При упрощении выражений также пригодятся свойства степеней и умение находить модуль числа.
Чем арифметический корень отличается от решения уравнения x^n = a?
Арифметический корень — это только неотрицательное значение, обозначенное знаком √[n]{a}. У уравнения при чётном n и a > 0 два решения: положительное и отрицательное. Поэтому √[4]{16} = 2, а решения уравнения x⁴ = 16 — 2 и −2.
Почему корень чётной степени не может быть отрицательным?
Арифметический корень по определению неотрицателен. Кроме того, чётная степень любого действительного числа неотрицательна, поэтому отрицательное число не может быть результатом возведения в чётную степень.
Можно ли извлечь корень нечётной степени из отрицательного числа?
Да. Нечётная степень отрицательного числа отрицательна, поэтому для любого отрицательного подкоренного числа находится отрицательный корень. Например, √[3]{−27} = −3, поскольку (−3)³ = −27.
Почему √[n]{a^n] иногда равно |a|, а не a?
При чётном n результат арифметического корня должен быть неотрицательным. Если a отрицательно, то |a| противоположно a, но имеет ту же чётную степень: например, √[4]{(−2)⁴} = 2. При нечётном n знак сохраняется, поэтому √[n]{aⁿ} = a.
Как быстро проверить, правильно ли найдено значение корня?
Возведите найденное число в степень, равную показателю корня, и сравните результат с подкоренным числом. Для чётного показателя дополнительно проверьте, что результат неотрицателен. Например, для √[3]{−8} число −2 подходит, так как (−2)³ = −8.
§ 2. Арифметический корень п-й степени
