"Математика: алгебра и геометрия", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Формулы суммы и разности углов позволяют выразить синус, косинус или тангенс сложного угла через значения функций двух более простых углов. С их помощью можно вычислять значения, которых нет в таблице стандартных углов, и преобразовывать тригонометрические выражения. Главное — не путать знаки: у синуса они совпадают со знаком между углами, а у косинуса меняются на противоположные. Формулы тангенса получают делением формул синуса на косинус, поэтому для них нужно проверять допустимость деления.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Формула синуса суммы имеет вид sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β. Чтобы найти синус суммы, нужно умножить синус первого угла на косинус второго, а затем прибавить произведение косинуса первого угла на синус второго. Формула полезна, когда сложный угол можно представить как сумму углов с известными значениями функций.
Формула синуса разности записывается так: sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β. Здесь из первого произведения вычитается второе, а порядок углов в каждом множителе сохраняется. Это позволяет вычислять синус разности, не подбирая значение угла отдельно.
Формула косинуса суммы выглядит так: cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β. Косинус суммы равен разности произведения косинусов и произведения синусов. Формула нужна, чтобы находить косинус составного угла через значения более простых углов.
Формула косинуса разности имеет вид cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β. В отличие от формулы косинуса суммы, здесь произведения складываются. Это различие особенно важно при подстановке значений: ошибочный знак меняет результат.
Угол на единичной окружности задаёт точку с координатами (cos α, sin α): косинус — первая координата, синус — вторая. Если точку повернуть ещё на угол β, её новые координаты выражаются через прежние координаты и sin β, cos β. Для поворота координаты преобразуются так: первая становится x cos β − y sin β, а вторая — x sin β + y cos β. Подставив x = cos α и y = sin α, получаем формулы косинуса и синуса суммы.
Знаки в этих выражениях появляются из самого поворота: часть прежней первой координаты переходит во вторую со знаком плюс, а часть второй координаты в первой координате вычитается. Поэтому у cos(α + β) стоит минус перед sin α sin β, тогда как в формуле синуса суммы оба произведения складываются. Геометрическая модель помогает не заучивать формулы как случайный набор знаков. Она связывает знаки с тем, как меняются координаты точки при повороте.
Разность углов можно представить как сумму α и противоположного угла −β. При этом cos(−β) = cos β, а sin(−β) = −sin β: косинус сохраняется, потому что точки для β и −β симметричны относительно горизонтальной оси, а синус меняет знак. Если подставить эти равенства в формулы суммы, получится sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β и cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β. Так объясняется изменение знаков при переходе от суммы к разности.
Формулы тангенса получают из равенства tg γ = sin γ / cos γ, когда cos γ ≠ 0. Для суммы подставляют формулы синуса и косинуса, а затем делят числитель и знаменатель на cos α cos β; после замены sin α / cos α на tg α выходит tg(α + β) = (tg α + tg β) / (1 − tg α tg β). Аналогично получается tg(α − β) = (tg α − tg β) / (1 + tg α tg β). Деление допустимо, только если cos α и cos β не равны нулю, а знаменатель полученной дроби также отличен от нуля.
Чтобы применить формулы к вычислению, представьте нужный угол суммой или разностью углов, значения функций которых известны. Например, 75° удобно записать как 45° + 30°, а 15° — как 45° − 30°. Затем в формуле замените каждую функцию её табличным значением, перемножьте слагаемые и приведите результат. Такой способ позволяет вычислять значения углов, которых нет среди стандартных.
| Функция | Сумма углов | Разность углов |
|---|---|---|
| Синус | sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β | sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β |
| Косинус | cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β | cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β |
| Тангенс | tg(α + β) = (tg α + tg β) / (1 − tg α tg β) | tg(α − β) = (tg α − tg β) / (1 + tg α tg β) |
Сначала найдите в таблице нужную функцию и тип выражения — сумму или разность. Затем сверяйте знаки и подставляйте значения функций отдельных углов. Для тангенса дополнительно убедитесь, что все значения и знаменатель дроби допустимы.
Вычислить sin 75°, представив угол как сумму известных углов. Угол 75° можно разложить на 45° + 30°, для которых известны значения синуса и косинуса. Поскольку в задаче требуется синус суммы, используем формулу синуса суммы, а не складываем синусы отдельных углов.
Ответ: sin 75° = (√6 + √2)/4. Результат получен через известные значения стандартных углов, поэтому не требуется приближённо измерять угол или искать его в таблице. При проверке обратите внимание, что оба слагаемых положительны.
Вычислить cos 15° и tg 15°. Представим 15° как 45° − 30° и сначала найдём косинус: он понадобится для тангенса, а также поможет проверить расчёт. Для тангенса применим формулу разности и отдельно проследим за знаменателем.
Ответ: cos 15° = (√6 + √2)/4, tg 15° = 2 − √3. В знаменателе формулы тангенса получилось положительное число, поэтому деление допустимо. Значение косинуса также положительно, что соответствует углу 15°.
Упростить выражение sin(x + a) cos a − cos(x + a) sin a и определить его значение при заданном x. По структуре это разность двух произведений, где аргументы функций — два угла: x + a и a. Поэтому вместо раскрытия скобок удобно сразу распознать формулу синуса разности.
Ответ: выражение упрощается до sin x; при x = 30° его значение равно ½. Такой приём экономит вычисления: не нужно по отдельности раскрывать каждую функцию. Если задано другое значение x, подставьте его в полученное простое выражение.
В формуле косинуса суммы иногда ставят плюс перед произведением синусов: cos(α + β) = cos α cos β + sin α sin β. Ошибка возникает из-за смешения её с формулой косинуса разности, где действительно стоит плюс. Проверьте себя подстановкой α = β = 0: значение косинуса суммы равно 1, а вариант с плюсом дал бы 1 тоже, поэтому эта проверка не выявляет ошибку; надёжнее сверить знак с таблицей формул или вывести его через координаты поворота.
В формулах синуса суммы и разности можно перепутать знаки. Запомните: знак между произведениями совпадает со знаком между углами — при сумме плюс, при разности минус. Ошибку помогает обнаружить проверка при β = 0: формулы должны превращаться в sin α, поскольку sin 0 = 0 и cos 0 = 1. Для формулы разности при β = 0 должен получиться тот же результат.
Нельзя считать, что sin(α + β) = sin α + sin β, или заменять формулу суммы формулой произведения. Такое упрощение кажется знакомым по распределительному свойству, но синус не распределяется по сложению аргументов. Для самопроверки возьмите α = β = 30°: sin 60° = √3/2, тогда как sin 30° + sin 30° = 1, и эти значения различаются.
Формулу тангенса применяют, не проверив существование тангенсов и знаменатель. Тогда можно делить на ноль или использовать выражение, которое не определено. Перед подстановкой проверьте, что cos α ≠ 0 и cos β ≠ 0, а знаменатель 1 − tg α tg β для суммы или 1 + tg α tg β для разности не равен нулю. Если условие не выполнено, используйте формулы синуса и косинуса либо другой способ.
Для работы с формулами нужны значения синуса и косинуса стандартных углов, свойства этих функций и понимание координат точки на единичной окружности. Эти знания помогают подставлять табличные значения и объясняют происхождение формул. Без них можно запомнить равенства, но сложнее контролировать знаки.
Формулы суммы и разности пригодятся при преобразовании тригонометрических выражений и вычислении значений углов, не входящих в таблицу стандартных углов. Позже они будут сочетаться с формулами приведения и использоваться при решении тригонометрических уравнений. Умение распознавать сумму или разность в аргументе помогает выбирать нужное преобразование.
Как запомнить знаки в формулах синуса и косинуса суммы и разности?
В формулах синуса знак между слагаемыми такой же, как знак между углами: у суммы плюс, у разности минус. В формулах косинуса знаки противоположные: у суммы минус, у разности плюс.
Почему в формуле косинуса суммы стоит минус, а в формуле косинуса разности — плюс?
Это следует из координат точки на единичной окружности: при сложении углов соответствующие произведения синусов вычитаются. Если второй угол заменить противоположным, его синус меняет знак, поэтому при вычитании углов перед произведением синусов появляется плюс.
Как вычислить синус или косинус угла, которого нет в таблице стандартных значений?
Представьте угол как сумму или разность двух углов, значения синусов и косинусов которых известны. Затем подставьте эти значения в соответствующую формулу и аккуратно выполните вычисления.
Как вывести формулу тангенса суммы углов?
Используйте равенство tg(α + β) = sin(α + β) / cos(α + β), подставьте формулы синуса и косинуса суммы, а затем разделите числитель и знаменатель на cos α cos β. После упрощения получается tg(α + β) = (tg α + tg β) / (1 − tg α tg β).
Какие ограничения нужно учитывать при применении формулы тангенса?
Тангенсы α и β должны существовать, то есть cos α и cos β не должны быть равны нулю. Кроме того, знаменатель формулы, например 1 − tg α tg β для суммы, должен быть отличен от нуля.
§ 1. Тригонометрические функции суммы и разности углов
