"Математика: алгебра и геометрия", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Кратный аргумент — это угол, увеличенный в целое число раз: например, 2α или 3α. Формулы кратного аргумента позволяют выразить синус, косинус и тангенс такого угла через функции исходного угла. Они нужны, чтобы упрощать тригонометрические выражения и решать уравнения. Главное — помнить формулы двойного аргумента, понимать, как из них получить формулы тройного, и выбирать запись по известным значениям.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Кратный аргумент — аргумент вида nα, где n — натуральное число, а α — исходный угол. Множитель n показывает, во сколько раз угол увеличен: 2α — угол вдвое больше α, 3α — втрое больше. Он умножает именно величину угла, а не значение синуса, косинуса или тангенса. Это обозначение помогает коротко записывать углы, которые возникают при преобразованиях.
Формулы двойного аргумента — тождества, выражающие sin 2α, cos 2α и tg 2α через функции угла α. Тождество — равенство, верное при всех допустимых значениях переменных. Эти формулы позволяют вычислять функции удвоенного угла, даже если напрямую известны только функции α. В зависимости от исходных данных для косинуса можно выбрать разные равносильные записи.
Формулы тройного аргумента выражают sin 3α и cos 3α через функции угла α. Их можно получить из формул сложения, представив 3α как 2α + α. Поэтому нет необходимости запоминать вывод отдельно: достаточно знать сложение аргументов и формулы для 2α. Такие записи полезны при преобразовании выражений с утроенным углом.
Формулы понижения степени — это варианты равенства для cos 2α, из которых выражают sin²α или cos²α через cos 2α. Например, sin²α = (1 − cos 2α)/2, а cos²α = (1 + cos 2α)/2. Они превращают квадраты тригонометрических функций в выражения с удвоенным аргументом. Это удобно, когда в задаче нужно избавиться от квадратов синуса или косинуса.
Формулы синуса и косинуса суммы связывают функцию суммы двух углов с функциями каждого угла. Чтобы получить двойной аргумент, достаточно положить в формулах сложения оба угла равными α: тогда α + α = 2α. Для синуса получаем sin(α + α) = sin α cos α + cos α sin α, то есть sin 2α = 2sin α cos α. Для косинуса выходит cos(α + α) = cos²α − sin²α, откуда cos 2α = cos²α − sin²α.
Косинус двойного аргумента можно записать тремя способами благодаря основному тригонометрическому тождеству sin²α + cos²α = 1. Если заменить sin²α на 1 − cos²α, то cos²α − sin²α превратится в 2cos²α − 1. Если заменить cos²α на 1 − sin²α, получится 1 − 2sin²α. Все три записи равны, но в конкретном примере одна из них может быть удобнее: так не придётся дополнительно искать неизвестную функцию.
Формулу тангенса суммы tg(α + β) = (tg α + tg β)/(1 − tg α tg β) можно применить при β = α. Тогда числитель становится 2tg α, а знаменатель — 1 − tg²α, поэтому tg 2α = 2tg α/(1 − tg²α). Однако тангенсы углов в формуле должны существовать, а знаменатель не должен обращаться в ноль. Поэтому перед применением проверяют ограничения, а не подставляют значения автоматически.
Чтобы получить формулы для тройного аргумента, представляют 3α как 2α + α. Например, sin 3α = sin 2α cos α + cos 2α sin α. Подстановка формул двойного аргумента даёт 2sin α cos²α + (cos²α − sin²α)sin α; после приведения и использования sin²α + cos²α = 1 получается sin 3α = 3sin α − 4sin³α. Аналогично из cos 3α = cos 2α cos α − sin 2α sin α получают cos 3α = 4cos³α − 3cos α.
При выборе формулы ориентируются на данные задачи, потому что не каждую неизвестную функцию удобно восстанавливать. Если известен cos α, для cos 2α обычно берут 2cos²α − 1; если известен sin α — 1 − 2sin²α. Для sin 2α нужны оба значения, но недостающее можно найти из sin²α + cos²α = 1, учитывая четверть угла, если важен знак. Формулу тангенса выбирают, когда известен tg α и проверены её ограничения.
| Вид формулы | Формула | Когда удобно применять |
|---|---|---|
| Синус двойного аргумента | sin 2α = 2sin α cos α | Когда известны sin α и cos α |
| Косинус двойного аргумента через cos²α | cos 2α = 2cos²α − 1 | Когда известен cos α |
| Косинус двойного аргумента через sin²α | cos 2α = 1 − 2sin²α | Когда известен sin α |
| Косинус двойного аргумента через разность квадратов | cos 2α = cos²α − sin²α | Когда известны обе функции |
| Тангенс двойного аргумента | tg 2α = 2tg α/(1 − tg²α) | Когда известен tg α и формула имеет смысл |
| Синус тройного аргумента | sin 3α = 3sin α − 4sin³α | Для преобразований с sin α и sin 3α |
| Косинус тройного аргумента | cos 3α = 4cos³α − 3cos α | Для преобразований с cos α и cos 3α |
| Ограничения на применение формулы tg 2α | tg α определён; 1 − tg²α ≠ 0 | Перед подстановкой значений в формулу |
Сначала найди в таблице известные функции исходного угла, а затем выбери строку с подходящей записью. Для тангенса обязательно отдельно проверь ограничения. Если нужной функции нет среди данных, реши, можно ли восстановить её по основному тригонометрическому тождеству.
Известно, что cos α = 3/5 и угол α острый. Найдите sin 2α, cos 2α и tg 2α. Сначала нужно определить недостающую функцию: без неё нельзя напрямую применить формулы синуса и тангенса двойного аргумента. Острый угол важен, потому что его синус положителен.
Ответ: sin 2α = 24/25, cos 2α = −7/25, tg 2α = −24/7. Отрицательный косинус и тангенс согласуются с тем, что при остром α большем 45° угол 2α находится во второй четверти. Это также помогает заметить возможную ошибку в знаке.
Упростите выражение (1 − cos 2x)/sin 2x, указав область допустимых значений. Область допустимых значений — это все x, при которых исходное выражение определено. Поскольку выражение является дробью, сначала нужно потребовать, чтобы её знаменатель не равнялся нулю.
Ответ: tg x, при x ≠ πk/2, k ∈ Z. Ограничение включает значения, при которых sin x = 0, и значения, при которых cos x = 0. Нельзя после сокращения забывать ограничения исходной дроби: упрощённая запись может быть определена там, где исходное выражение не имело смысла.
Решите уравнение cos 2x = 1/2 на отрезке [0; 2π]. Удобно сначала решить уравнение относительно всего угла 2x, а потом вернуться к x. Поскольку x ограничен отрезком, в конце нужно проверить и отобрать подходящие значения.
Ответ: x = π/6, 5π/6, 7π/6, 11π/6. Проверка подстановкой показывает, что во всех четырёх случаях 2x даёт угол с косинусом 1/2. Остальные значения семейств либо не попадают в заданный отрезок, либо повторяют уже найденные корни.
Часто принимают sin 2α за 2sin α, а cos 2α — за 2cos α. Так происходит, когда множитель перед углом ошибочно переносят перед значением функции. Проверка проста: вспомни, что аргумент — это угол, и подставь, например, α = 0: sin 0 = 0, но 2sin 0 тоже 0, поэтому для надёжной проверки возьми α = 30°; значения уже различаются.
Другая ошибка — помнить только один вариант формулы cos 2α и пытаться применить его при любых данных. Из-за этого приходится лишний раз находить неизвестный синус или косинус и можно потерять знак. Сверь условие: при известном синусе удобна запись 1 − 2sin²α, а при известном косинусе — 2cos²α − 1; подстановка обоих вариантов должна давать одинаковый результат.
Формулу tg 2α иногда используют, не проверяя знаменатель 1 − tg²α и существование tg α. Это допускают, потому что запоминают формулу как обычное равенство, забывая, что делить на ноль нельзя. Перед вычислениями проверь, что tg α определён и знаменатель не равен нулю; например, при α = 45° он обращается в ноль.
При решении уравнения с 2x можно найти значения для угла 2x, но оставить их ответом для x. Ошибку вызывает то, что новая переменная выглядит почти так же, как исходная. После решения обязательно раздели найденные значения угла на 2 и проверь каждый корень на заданном промежутке подстановкой или отбором по интервалу.
Для вывода формул кратного аргумента нужны формулы сложения и вычитания аргументов, основное тригонометрическое тождество и значения функций стандартных углов. Эти знания позволяют получить новые равенства, а не только запоминать их. Формулы двойного и тройного аргумента затем используют для упрощения выражений и решения тригонометрических уравнений. В частности, формулы понижения степени помогают преобразовывать выражения с квадратами sin x и cos x.
Почему sin 2α не равно 2sin α?
Множитель 2 относится к углу: sin 2α означает синус угла 2α, а не удвоенный синус α. По формуле сложения sin 2α = 2sin α cos α, поэтому равенство sin 2α = 2sin α верно не всегда.
Какой из трёх видов формулы cos 2α лучше использовать?
Выбирай вид, в котором используются известные значения: cos 2α = 2cos²α − 1, если знаешь cos α, и cos 2α = 1 − 2sin²α, если знаешь sin α. Запись cos 2α = cos²α − sin²α удобна, когда известны обе функции.
Можно ли применять формулу tg 2α при α = 45°?
Нет, в формуле tg 2α = 2tg α / (1 − tg²α) при α = 45° знаменатель равен нулю. Кроме того, сам tg 2α не определён, поскольку 2α = 90°.
Как вывести формулы для sin 3α и cos 3α, не заучивая их отдельно?
Представь угол 3α как сумму 2α + α и примени формулу сложения для синуса или косинуса. Затем подставь формулы двойного аргумента и приведи подобные слагаемые.
Почему при решении уравнения cos 2x = a нужно отдельно проверять промежуток для x?
После замены 2x на новый угол сначала получаются решения для 2x, а не для x. Их нужно разделить на 2, а затем оставить только те значения x, которые входят в заданный промежуток.
§ 2. Формулы кратного аргумента
