§ 3. Формулы приведения

Определения и обозначения

Формула приведения — тождество, позволяющее выразить значение тригонометрической функции угла через функцию угла из первой четверти. Например, sin(π/2 − α) = cos α. Такие формулы помогают заменить угол, для которого значение неудобно искать, на острый угол с известным значением.

Угол приведения — острый угол α, с которым связывают угол вида kπ/2 ± α, где k — целое число. Например, в выражении π + α острым углом приведения будет α. Его значение можно подставить в таблицу основных углов или вычислить отдельно.

Смена функции — переход от синуса к косинусу или от тангенса к котангенсу при приведении углов вида π/2 ± α и 3π/2 ± α. Пару синус–косинус и пару тангенс–котангенс называют кофункциями. Это правило нужно, чтобы выбрать правильную функцию после преобразования угла.

Знак значения тригонометрической функции определяется четвертью, в которой находится исходный угол. Например, в третьей четверти синус и косинус отрицательны, а тангенс и котангенс положительны. Проверка знака помогает не ошибиться даже тогда, когда острый угол α найден верно.

Как это устроено

На единичной окружности каждой точке соответствует угол, а её координаты равны cos x и sin x. Если угол изменить на π или отразить точку относительно оси, координаты меняются по понятному правилу: могут поменяться знаки, но связь синуса с ординатой, а косинуса с абсциссой остаётся. Поэтому формулы приведения не являются набором случайных равенств — они следуют из симметрий окружности. Тангенс и котангенс выражаются через отношения этих координат и подчиняются тем же преобразованиям.

При углах вида kπ ± α название функции сохраняется, потому что поворот на целое число полуоборотов не меняет, какая координата задаёт синус или косинус. Например, cos(π + α) = −cos α: косинус остался косинусом, но точка оказалась в третьей четверти, где он отрицателен. При углах вида (2k + 1)π/2 ± α происходит поворот на нечётное число четвертей оборота. Абсцисса и ордината меняются ролями, поэтому синус переходит в косинус, а тангенс — в котангенс.

Чтобы выбрать знак, сначала находят четверть именно исходного угла. Затем проверяют знак функции, записанной слева: например, в четвёртой четверти косинус положителен, а синус отрицателен. Это правило работает и тогда, когда правая часть содержит другую функцию, — знак всё равно определяется по исходной функции и исходному углу. Нельзя определять знак только по острому углу α: он находится в первой четверти и сам по себе не сообщает, где расположена точка исходного угла.

Для применения формулы сначала представляют угол в виде kπ/2 ± α и выделяют острый α. Если угол больше 2π, можно вычесть целое число полных оборотов 2π: значения функций при этом не меняются. Затем смотрят, является ли число при π чётным или нечётным: для kπ ± α функция сохраняется, а для нечётного числа четвертей меняется на кофункцию. Наконец, по четверти исходного угла устанавливают знак и подставляют значение функции от α.

Формулы приведения для углов от π/2 до 2π

Найдите в первом столбце форму исходного угла, а затем прочитайте значение нужной функции в её столбце. Таблица предполагает, что α — острый угол; знак уже включён в ответ. Для тангенса и котангенса дополнительно проверяйте, что функция определена.

Разбор задач

Вычислить sin(π/2 − π/6)

Здесь угол уже записан в виде π/2 − α, поэтому по таблице синус нужно заменить косинусом. Угол π/2 − π/6 равен π/3 и лежит в первой четверти, так что результат положительный. Осталось подставить известное значение косинуса острого угла.

1. Сравниваем выражение с формулой: sin(π/2 − α) = cos α.
2. Подставляем α = π/6: sin(π/2 − π/6) = cos(π/6).
3. Используем значение cos(π/6) = √3/2.

Ответ: √3/2.

Упростить cos(π + α) + sin(3π/2 − α)

Приводим слагаемые по отдельности, чтобы не перепутать правила для углов с π и с 3π/2. В первом случае функция сохраняется, а угол π + α находится в третьей четверти, где косинус отрицателен. Во втором случае синус меняется на косинус; угол 3π/2 − α также лежит в третьей четверти, поэтому значение отрицательно.

1. Для первого слагаемого: cos(π + α) = −cos α.
2. Для второго слагаемого: sin(3π/2 − α) = −cos α.
3. Складываем результаты: −cos α − cos α = −2cos α.

Ответ: −2cos α.

Вычислить tg(7π/6), используя известное значение тригонометрической функции острого угла

Угол 7π/6 больше π, но его удобно представить как сумму π и острого угла. При прибавлении π название тангенса сохраняется, а угол находится в третьей четверти. Там синус и косинус оба отрицательны, поэтому их отношение, то есть тангенс, положительно.

1. Представляем угол: 7π/6 = π + π/6.
2. Применяем формулу tg(π + α) = tg α: tg(7π/6) = tg(π/6).
3. Используем tg(π/6) = √3/3; знак положительный, что согласуется с третьей четвертью.

Ответ: √3/3.

Типичные ошибки

При угле π ± α иногда меняют синус на косинус, хотя название функции здесь сохраняется. Такое смешение возникает из-за запоминания правила о смене функции для углов с π/2. Проверьте, сколько четвертей составляет поворот: при целом числе π функция остаётся прежней, меняется только её знак.

Обратная ошибка — оставить прежнее название функции при угле π/2 ± α. Здесь синус и косинус, а также тангенс и котангенс меняются местами, потому что координаты точки меняют роли. Перед подстановкой найдите вид угла и спросите себя, содержит ли он нечётное число четвертей π/2.

Знак иногда выбирают по углу приведения α, хотя он всегда острый и лежит в первой четверти. Из-за этого теряется информация о положении исходного угла. Проверка простая: отметьте четверть исходного угла и вспомните знаки функций именно в ней.

Ещё одна ошибка — сразу применять формулу, не выделив вид kπ/2 ± α. Тогда легко перепутать плюс и минус внутри угла и выбрать строку таблицы с другим знаком. Сначала перепишите угол как сумму или разность стандартной части и острого α, затем сравните запись с таблицей и только после этого упрощайте.

Связь с другими темами

Для работы с формулами приведения нужны значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса на единичной окружности, а также знаки функций в четвертях. Сама геометрическая логика формул связана с симметриями окружности и опирается на формулы сложения тригонометрических функций. Приведение углов помогает вычислять выражения и упрощать тождества. Позже те же преобразования пригодятся при решении тригонометрических уравнений.

Что запомнить

• Формулы приведения позволяют заменить угол на связанный с ним острый угол.
• При углах вида π ± α название функции сохраняется.
• При углах вида π/2 ± α название функции меняется на кофункцию.
• Знак результата определяется по четверти исходного угла.
• Сначала приведи угол, затем выбери функцию и только потом определяй знак.
• Тангенс и котангенс не определены там, где их знаменатель равен нулю.