"Математика: алгебра и геометрия", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Теорема косинусов связывает стороны треугольника с косинусом угла между ними. Она помогает найти третью сторону, если известны две стороны и угол между ними, а также вычислить угол по трём сторонам. Формула работает для любого треугольника: острого, прямоугольного и тупоугольного. Если угол прямой, она превращается в теорему Пифагора.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Теорема косинусов — равенство a² = b² + c² − 2bc cos A, связывающее стороны треугольника и косинус одного из его углов. Оно позволяет найти сторону a, если известны b, c и угол между ними. Поэтому формула полезна, когда одних сведений теоремы Пифагора недостаточно. Она применима к треугольникам любого вида.
Стороны a, b и c обозначают так, что сторона a лежит напротив угла A, сторона b — напротив B, а сторона c — напротив C. Это соответствие сохраняется во всех формулах теоремы. Оно помогает понять, какой угол связан с нужной стороной. Если переставить обозначения, нужно переставить и соответствующие углы.
Угол между сторонами — это угол, образованный двумя сторонами с общей вершиной. В формуле для a² это угол A: он заключён между сторонами b и c. Значит, если известны b и c, подставлять следует именно косинус угла между ними. Проверка этого соответствия помогает не выбрать случайно другой угол треугольника.
Косинус угла треугольника может быть положительным, нулевым или отрицательным. Для острого угла он положителен, для прямого равен нулю, а для тупого отрицателен. Поэтому теорема работает и в тупоугольном треугольнике: отрицательное значение косинуса учитывается прямо в формуле. Знак косинуса также помогает определить вид угла.
Представь, что известны две стороны треугольника и угол между ними, а требуется найти третью сторону. Теорема Пифагора напрямую не подходит: она связывает стороны только прямоугольного треугольника. Поэтому нужно преобразовать исходный треугольник так, чтобы в рассуждении появился прямоугольный. Для этого из одной вершины опускают высоту на сторону, которую удобно выбрать основанием.
Пусть основание — сторона b, а из конца стороны c опущена высота. Она делит основание на отрезки, один из которых является проекцией стороны c на b. Проекция — это часть стороны, полученная при перпендикулярном опускании её конца на основание. В прямоугольном треугольнике косинус угла A равен отношению прилежащего катета к гипотенузе, поэтому проекция стороны c равна c cos A. Так угол позволяет выразить нужную часть основания через известную сторону и косинус.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник с гипотенузой a. По теореме Пифагора квадрат a равен сумме квадратов высоты и соответствующего горизонтального отрезка. Подставив выражение проекции, раскроем квадрат разности; в результате слагаемые, связанные с высотой, сокращаются. Остаётся a² = b² + c² − 2bc cos A. Именно поэтому в теореме появляется произведение двух сторон на косинус заключённого между ними угла.
Для остальных сторон рассуждение такое же, меняются только буквы. Формула b² = a² + c² − 2ac cos B использует угол B между сторонами a и c, а формула c² = a² + b² − 2ab cos C — угол C между a и b. В каждой записи искомой стороне соответствует противолежащий угол. Это правило позволяет восстановить нужную формулу, даже если её не удаётся вспомнить целиком.
Теорему можно использовать и в обратном направлении: если известны все три стороны, из равенства для a² выразить cos A = (b² + c² − a²) / (2bc). Полученное число показывает вид угла: положительный косинус соответствует острому углу, нулевой — прямому, отрицательный — тупому. Например, при нулевом косинусе формула становится a² = b² + c². Значит, теорема Пифагора — частный случай теоремы косинусов.
| Что найти | Формула | Какие данные нужны |
|---|---|---|
| Сторону a | a² = b² + c² − 2bc cos A | b, c и угол A между ними |
| Сторону b | b² = a² + c² − 2ac cos B | a, c и угол B между ними |
| Сторону c | c² = a² + b² − 2ab cos C | a, b и угол C между ними |
| Угол A по трём сторонам | cos A = (b² + c² − a²) / (2bc) | a, b и c |
| Вид угла A по знаку cos A | cos A > 0 — острый; cos A = 0 — прямой; cos A < 0 — тупой | Значение cos A |
Сначала определи, что требуется найти, затем выбери соответствующую строку таблицы. Сверь, что угол в формуле заключён именно между указанными сторонами. Если считаешь угол по трём сторонам, знак косинуса сразу подскажет его вид.
В треугольнике две стороны равны 5 см и 7 см, а угол между ними равен 60°. Найдём третью сторону. Не нужно угадывать, какую сторону обозначить буквой a: можно считать её противоположной данному углу. Тогда известные стороны образуют этот угол, а его косинус равен ½. Получим значение стороны в сантиметрах.
Ответ: √39 см, или примерно 6,2 см. Косинус 60° использован потому, что этот угол заключён между известными сторонами. Если бы подставить другой угол, формула описывала бы не данные задачи.
Стороны треугольника равны 6 см, 8 см и 10 см. Определим вид угла, лежащего напротив стороны 10 см. Назовём эту сторону a, а две другие — b и c; тогда искомый угол обозначим A. По трём сторонам сначала вычислим cos A, а затем определим тип угла по знаку результата. Дополнительно проверим вычисление через знакомое соотношение сторон.
Ответ: угол напротив стороны 10 см — прямой. Важно было связать сторону 10 с противоположным ей углом. Равенство квадратов двух меньших сторон квадрату наибольшей служит быстрой проверкой результата.
Две стороны треугольника равны 9 см и 13 см, а заключённый между ними угол равен 120°. Найдём третью сторону. Угол тупой, поэтому его косинус отрицателен: cos 120° = −½. Из-за минуса в формуле вычитание отрицательного числа увеличит квадрат искомой стороны. Это не ошибка вычислений, а ожидаемый результат для тупого угла.
Ответ: √367 см, или примерно 19,2 см. Противоположная тупому углу сторона длиннее каждой из сторон, образующих угол. Полученное значение это подтверждает: искомая сторона больше 13 см.
Ошибка: подставить угол, который не заключён между известными сторонами. Её допускают, когда выбирают угол только по его величине или путают его с углом напротив искомой стороны. Перед вычислением выдели две известные стороны и найди угол с общей вершиной между ними. Для формулы стороны a это именно A — угол между b и c.
Ошибка: перепутать сторону и противолежащий ей угол. Обозначение a относится к стороне напротив A, а не к стороне, которая образует угол A. Такая путаница меняет формулу и может дать неверный ответ. Нарисуй соответствие «a — A, b — B, c — C» или подпиши его рядом с условием.
Ошибка: потерять минус перед слагаемым 2bc cos A. Особенно часто это случается при тупом угле, когда косинус отрицателен, и вычитание отрицательного числа превращается в сложение. Записывай скобки: −2bc · (−значение). Проверь, должен ли квадрат искомой стороны увеличиться при тупом угле.
Ошибка: неверно завершить вычисление угла по трём сторонам. Формула сначала даёт cos A, а не сам угол; иногда также забывают, что вид угла определяет знак косинуса. Сначала упрости дробь и установи знак, затем, если нужен сам угол, найди угол по значению косинуса. Нулевой косинус означает 90°, положительный — острый угол, отрицательный — тупой.
Для вывода теоремы косинусов нужны теорема Пифагора и понятие проекции стороны на другую сторону. При работе с формулой понадобятся косинусы стандартных углов и понимание, что косинус тупого угла отрицателен. Эти знания помогают не только подставить значения, но и проверить, разумен ли результат. Теорема Пифагора появляется здесь как частный случай при угле 90°.
Теорема косинусов используется при решении треугольников, когда нужно находить неизвестные стороны или углы. Она помогает вычислять расстояния и углы в геометрических задачах, а позднее связывается с векторами и тригонометрическими методами. В таких задачах исходные данные могут быть записаны не как готовый треугольник, но всё равно сводиться к его сторонам и углам. Поэтому умение выбрать подходящую формулу пригодится и за пределами этого параграфа.
Как понять, какой угол подставлять в теорему косинусов?
Сначала выбери сторону, которую нужно найти. В формуле для её квадрата используется угол, лежащий напротив этой стороны, то есть угол между двумя другими сторонами. Например, для стороны a нужно взять угол A между сторонами b и c.
Почему в формуле стоит минус перед произведением?
Он появляется при выводе формулы через проекцию стороны на другую сторону и теорему Пифагора. Для острого угла косинус положителен, а для тупого — отрицателен, поэтому знак косинуса влияет на результат.
Работает ли теорема косинусов для тупоугольного треугольника?
Да, теорема верна для любого треугольника. У тупого угла косинус отрицателен, поэтому выражение −2bc cos A увеличивает квадрат противоположной ему стороны.
Как по трём сторонам определить, острый угол или тупой?
Для угла A вычисли cos A = (b² + c² − a²) / (2bc). Если косинус положителен, угол острый; если равен нулю — прямой; если отрицателен — тупой.
Чем теорема косинусов отличается от теоремы Пифагора?
Теорема Пифагора применяется только к прямоугольному треугольнику. Теорема косинусов подходит для любого треугольника, а при угле 90° её формула становится теоремой Пифагора.
§ 1. Теорема косинусов
