"Математика: алгебра и геометрия", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Теорема синусов связывает стороны треугольника с синусами противолежащих углов. Она помогает находить неизвестные стороны и углы, если известна подходящая пара «сторона — угол». Отношения a/sin A, b/sin B и c/sin C равны между собой, а также диаметру описанной окружности. Чтобы не ошибиться в расчётах, нужно правильно сопоставлять каждую сторону с углом напротив неё и помнить: по значению синуса иногда возможны два угла.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Теорема синусов утверждает: в любом треугольнике отношения сторон к синусам противолежащих углов равны. Например, a/sin A = b/sin B = c/sin C. Это равенство позволяет перейти от известных стороны и угла к неизвестной стороне или углу, если величины правильно сопоставлены.
Сторону обозначают строчной буквой, а противолежащий ей угол — той же заглавной: сторона a лежит напротив угла A, b — напротив B, c — напротив C. Противолежащими называют элементы, которые находятся друг против друга, а не рядом у одной вершины. Такое обозначение помогает не перепутать данные, когда составляешь пропорцию.
Описанная окружность — окружность, проходящая через все три вершины треугольника. Её центр равноудалён от вершин, а расстояние от центра до любой вершины называется радиусом описанной окружности R. Радиус нужен, чтобы связать теорему синусов с окружностью и находить её размер по данным треугольника.
Теорему можно записать с радиусом описанной окружности: a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R. Здесь 2R — диаметр окружности, то есть величина, вдвое большая радиуса. Поэтому, если известны сторона и противолежащий угол, можно найти R, разделив их отношение на 2.
Каждой стороне треугольника соответствует именно угол напротив неё. Это соответствие не случайно: при изменении угла меняется и длина противоположной стороны, а синус угла позволяет выразить эту связь. Поэтому в записи теоремы рядом стоят a и sin A, b и sin B, c и sin C. Если поставить к стороне синус соседнего угла, получится уже другая пропорция, не следующая из теоремы.
Формулировка a/sin A = b/sin B = c/sin C означает, что любые два таких отношения равны. Например, если известны a, A и B, можно приравнять a/sin A к b/sin B и найти b. Это удобно, потому что для вычисления неизвестной стороны не требуется знать остальные стороны. Синусы углов можно найти по таблице, калькулятору или известным значениям.
В записи с окружностью каждое отношение стороны к синусу противоположного угла равно 2R. Общая величина отношений — не радиус, а диаметр описанной окружности. Это позволяет найти радиус, когда известны сторона и её противолежащий угол: из a/sin A = 2R следует R = a/(2 sin A). Такое применение связывает вычисления в треугольнике с его описанной окружностью.
Чтобы выбрать нужную часть равенства, сначала выпиши известные и искомые величины. Затем проверь, какая сторона лежит напротив каждого используемого угла, и составь равенство именно для этих пар. Например, для стороны b и угла B подходит отношение b/sin B, а для стороны a — a/sin A. Такой порядок помогает избежать лишних действий и ошибок с обозначениями.
При решении треугольника часто сначала требуется найти угол, которого нет в условии. Для этого используют сумму углов: A + B + C = 180°. Затем подставляют данные в теорему синусов и решают полученную пропорцию. В конце проверяют соответствие сторон и углов, а если найден синус угла, рассматривают возможные значения угла и проверяют сумму всех трёх углов.
| Запись | Что связывает | Когда удобно применять |
|---|---|---|
| a/sin A = b/sin B = c/sin C | Стороны и синусы противолежащих углов | Чтобы найти неизвестную сторону или угол |
| a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R | Отношения сторон к синусам и диаметр описанной окружности | Чтобы найти радиус описанной окружности |
| Известная сторона и противолежащий угол | Исходную пару величин для пропорции | Чтобы выбрать известную часть равенства |
| Искомая сторона или угол | Неизвестную величину и соответствующий ей элемент | Чтобы определить, какое равенство составить |
| Радиус описанной окружности | Радиус R и диаметр 2R | Чтобы использовать форму теоремы с окружностью |
Сначала найди в таблице запись, подходящую к тому, что требуется определить. Затем выбери известную и искомую пары «сторона — противолежащий угол» и составь пропорцию. Если задача о радиусе, используй форму с 2R и не забудь, что это диаметр.
Задача 1. В треугольнике ABC угол A равен 30°, угол B — 90°, а сторона a равна 5. Найдите сторону b. Сторона a лежит напротив A, а b — напротив B, поэтому для решения нужны отношения a/sin A и b/sin B. Угол C для этого вычисления находить не требуется.
Ответ: b = 10.
Задача 2. В треугольнике ABC сторона a равна 8, угол A — 30°, угол B — 45°. Найдите сторону b. Здесь известна пара a и A, а искомая сторона b связана с углом B. Применяем теорему непосредственно; дополнительный угол вычислять не нужно.
Ответ: b = 8√2.
Задача 3. В треугольнике ABC стороны a = 6 и b = 8, угол A = 30°. Найдите возможные значения угла B и объясните, почему решений может быть два. По условию известны стороны a и b и угол, противолежащий стороне a. Сначала найдём синус B, а затем проверим каждый допустимый угол.
Ответ: B ≈ 41,8°. Два значения синуса требуют проверки, но при данных задачи второе решение невозможно.
Подставлять прилежащий угол вместо противолежащего. Это происходит, когда выбирают угол, который просто находится рядом со стороной. Проверь себя: в паре a/sin A вершина A должна лежать напротив стороны a; аналогично устроены пары b и B, c и C.
Перепутать индексы в равенстве отношений. Если записать, например, a/sin B вместо a/sin A, сторона будет сопоставлена не с тем углом. Такая ошибка часто появляется, когда формулу вспоминают по памяти и сразу подставляют числа. Перед вычислением подпиши возле каждой стороны её противолежащий угол и только потом составляй пропорцию.
Считать, что по синусу всегда находится ровно один угол. В треугольнике одинаковый синус могут иметь острый угол и дополнительный к нему тупой угол. Второй вариант иногда не учитывают, потому что калькулятор обычно показывает одно значение. Проверь оба варианта и оставь лишь те, для которых сумма углов треугольника равна 180°.
Путать R и 2R. В общей формуле теоремы синусов справа стоит диаметр описанной окружности, а не её радиус. Ошибка возникает, если не прочитать множитель 2 перед R. Для проверки вспомни: диаметр вдвое больше радиуса, поэтому при поиске R нужно разделить отношение стороны к синусу на 2.
Для работы с теоремой синусов нужно знать, что сумма углов треугольника равна 180°, уметь находить противолежащие сторону и угол и помнить значения синусов основных углов. Поэтому при недостатке данных сначала может понадобиться вычислить третий угол. Освоив теорему, можно решать треугольники по известным углам и стороне или по нескольким парам «сторона — противолежащий угол». Связь с описанной окружностью помогает находить её радиус по стороне и противолежащему углу.
Почему сторону делят на синус именно противолежащего угла?
Так устроена связь между сторонами треугольника и его углами: каждой стороне соответствует синус угла напротив неё. Это следует, в частности, из геометрии описанной окружности. Если взять прилежащий угол, равенство теоремы нарушится.
Можно ли применять теорему синусов в тупоугольном треугольнике?
Да, теорема верна для любого треугольника, в том числе тупоугольного. Синус тупого угла положителен, поэтому его можно подставлять в формулу. При выборе угла по значению синуса учитывай, что тупой угол тоже может быть решением.
Что обозначает R в записи теоремы синусов?
R — радиус описанной окружности, проходящей через все три вершины треугольника. В записи a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R стоит её диаметр, а не радиус.
Как понять, какой угол подставлять к известной стороне?
Найди вершину, лежащую напротив стороны: сторона a находится напротив угла A, b — напротив B, c — напротив C. Именно синус этого угла нужно использовать. Удобно сначала записать пары «сторона — противолежащий угол».
Почему по теореме синусов иногда получаются два значения угла?
В промежутке от 0° до 180° два угла могут иметь одинаковый синус: например, угол и дополнительный к нему. Поэтому после вычисления синуса нужно проверить оба варианта. Подходит только тот, при котором сумма углов треугольника равна 180° и все углы больше 0°.
§ 2. Теорема синусов
