§ 3. Решение треугольников

Определения и обозначения

Решение треугольника — нахождение неизвестных сторон и углов по заданным элементам. Например, если известны два угла и одна сторона, можно определить остальные элементы. Это понятие описывает задачу целиком: требуется не построить треугольник, а вычислить всё, чего не хватает.

Теорема синусов: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов: a/sin A = b/sin B = c/sin C. Здесь a, b, c — стороны, а A, B, C — углы напротив них. Теорема нужна, чтобы по одной известной паре «сторона — противолежащий угол» находить другие стороны или углы.

Теорема косинусов утверждает: квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Например, c² = a² + b² − 2ab cos C, где C — угол между сторонами a и b. Эта связь помогает работать с данными, для которых теоремы синусов недостаточно, и распространяет теорему Пифагора на любой треугольник.

Площадь треугольника через две стороны и угол между ними находят по формуле S = ½ab sin C. Буквы a и b обозначают стороны, а C — угол между ними. Формула полезна, когда высота неизвестна, но известны две стороны и заключённый между ними угол.

Как это устроено

В любом треугольнике сумма углов равна 180°, поэтому из двух известных углов сразу находится третий. После этого, если известна ещё сторона, трёх элементов достаточно для нахождения остальных. Знание хотя бы одной стороны задаёт масштаб: одни только углы определяют форму, но не размер треугольника. Например, треугольники с одинаковыми углами могут быть разных размеров.

Теорема синусов связывает каждую сторону с углом напротив неё, потому что при увеличении угла напротив него оказывается более длинная сторона. Это позволяет составить пропорцию между известной и неизвестной парами. Удобно применять теорему, когда уже известны сторона и противолежащий угол, а также ещё один угол или сторона. Если заданы два угла и сторона, сначала находят третий угол, а затем используют пропорцию.

Теорема косинусов нужна, когда известные элементы не образуют пару для теоремы синусов. Если известны две стороны и угол между ними, формула даёт третью сторону напрямую. При угле 90° его косинус равен нулю, поэтому остаётся c² = a² + b² — теорема Пифагора. Значит, теорема косинусов обобщает знакомое правило для прямоугольного треугольника.

Если известны три стороны, теорему косинусов можно преобразовать и найти угол: cos C = (a² + b² − c²)/(2ab). Затем сам угол определяют по найденному значению косинуса. Перед этим следует проверить, что значение лежит в пределах от −1 до 1: косинус реального угла не может выйти за эти границы. Если вычисления дают значение вне диапазона, данные могли быть переписаны неверно или такого треугольника не существует.

Выбирая способ, сначала ищи известную пару «сторона и противолежащий угол»: при её наличии часто проще начать с теоремы синусов. Две стороны и угол между ними указывают на теорему косинусов, как и набор из трёх сторон. При двух сторонах и угле, который не заключён между ними, ситуация неоднозначна: теорема синусов может дать два возможных угла. Поэтому нужно проверить, сколько треугольников удовлетворяет условию.

Как выбрать способ решения треугольника

Сначала найди в таблице строку, соответствующую известным данным задачи. Если сомневаешься, заключён ли угол между сторонами, проверь: его стороны должны быть именно теми двумя известными сторонами. После первого вычисления продолжай искать неизвестные элементы по сумме углов и подходящей теореме.

Разбор задач

Два угла и сторона

Известны углы 48° и 72°, а сторона 10 см лежит напротив угла 48°. Требуется найти третий угол и две остальные стороны. Обозначим сторону напротив 48° через a = 10, стороны напротив 72° и третьего угла — через b и c. Сначала находим угол, чтобы использовать его в теореме синусов.

1. Третий угол равен 180° − 48° − 72° = 60°.
2. По теореме синусов b/sin 72° = 10/sin 48°, поэтому b = 10 sin 72°/sin 48° ≈ 12,7 см.
3. Аналогично c/sin 60° = 10/sin 48°, откуда c = 10 sin 60°/sin 48° ≈ 11,6 см.

Ответ: третий угол — 60°, остальные стороны — примерно 12,7 см и 11,6 см. Проверка соответствия показывает: стороне напротив большего угла 72° соответствует большая из найденных сторон. Значения округлены до десятых.

Две стороны и угол между ними

Даны стороны 7 см и 9 см, а угол между ними равен 60°. Нужно найти третью сторону и два остальных угла. Поскольку известный угол заключён между известными сторонами, начинаем с теоремы косинусов. Пусть сторона 7 см лежит напротив угла A, сторона 9 см — напротив B, а угол C = 60°.

1. Третья сторона c² = 7² + 9² − 2 · 7 · 9 · cos 60° = 49 + 81 − 63 = 67, поэтому c = √67 ≈ 8,2 см.
2. По теореме синусов sin A/7 = sin 60°/√67. Значит, A ≈ 47,8°.
3. Оставшийся угол B = 180° − 60° − 47,8° ≈ 72,2°.

Ответ: третья сторона примерно 8,2 см, остальные углы — примерно 47,8° и 72,2°. Проверка по сумме углов подтверждает результат. Угол напротив стороны 9 см больше угла напротив стороны 7 см, что согласуется с соотношением между сторонами и углами.

Три стороны

Стороны треугольника равны 5 см, 6 см и 8 см. Чтобы найти углы, обозначим их A, B и C напротив сторон 5, 6 и 8 соответственно. Теорема синусов здесь не даёт известную пару «сторона — угол», поэтому первым делом применяем теорему косинусов. Площадь затем найдём по двум сторонам и углу между ними.

1. cos A = (6² + 8² − 5²)/(2 · 6 · 8) = 75/96, поэтому A ≈ 38,6°.
2. cos B = (5² + 8² − 6²)/(2 · 5 · 8) = 53/80, поэтому B ≈ 48,5°.
3. C = 180° − 38,6° − 48,5° ≈ 92,9°.
4. Стороны 6 и 8 заключают угол A, поэтому S = ½ · 6 · 8 · sin A ≈ 18,46 · 0,623 ≈ 11,5 см².

Ответ: углы приблизительно равны 38,6°, 48,5° и 92,9°, площадь — 11,5 см². Проверка: сумма округлённых углов равна 180°. При вычислении площади важно взять именно угол между сторонами 6 и 8, то есть A.

Типичные ошибки

В теореме синусов иногда сопоставляют сторону не с тем углом, а, например, берут ближайший к ней угол. Так происходит, если забыть, что пара должна быть противолежащей: сторона a относится к sin A. Перед вычислением подпиши напротив каждой стороны её угол и проверь пары в пропорции.

Для теоремы косинусов при поиске третьей стороны могут подставить угол, который не заключён между двумя известными сторонами. Ошибка возникает из-за того, что в рисунке легко перепутать расположение угла. Отметь стороны, входящие в формулу, и убедись, что нужный угол образован именно ими.

Ещё одна ошибка — забыть, что сумма углов равна 180°, или неверно ввести градусы в калькулятор. Если режим вычислений установлен в радианах, результат синуса угла в градусах получится неправильным. Проверь единицы измерения, а в конце сложи углы и сравни сумму со 180°.

В задаче с двумя сторонами и углом, не заключённым между ними, иногда принимают первый найденный по синусам угол за единственный ответ. Но одинаковое значение синуса может иметь острый и тупой углы, поэтому возможны два треугольника. Проверь второй вариант: прибавь его к известному углу и выясни, остаётся ли положительный третий угол.

Связь с другими темами

Для решения треугольников нужны сумма его углов, свойства равнобедренного и прямоугольного треугольников и теорема Пифагора. Также понадобятся значения синуса и косинуса углов — эти тригонометрические функции связывают углы со сторонами в формулах. Прежде чем начинать вычисления, полезно проверить, уверенно ли ты пользуешься этими знаниями.

Теоремы синусов и косинусов применяют, когда расстояние или угол нельзя измерить напрямую: например, чтобы вычислять расстояния до удалённых объектов. Они помогают переносить измерения, сделанные в доступных точках, на неизвестные стороны и углы. Эти же зависимости становятся основой дальнейшего изучения тригонометрии.

Что запомнить

• Сумма углов треугольника равна 180°.
• В теореме синусов сторона и угол берутся как противолежащая пара.
• Теорема косинусов применима к любому треугольнику.
• Если угол между известными сторонами равен 90°, теорема косинусов превращается в теорему Пифагора.
• По трём сторонам углы можно найти с помощью теоремы косинусов.
• После вычислений проверяйте, что все стороны положительны, а сумма углов равна 180°.