"Математика: алгебра и геометрия", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Квадратное неравенство можно решить, посмотрев, где график функции y = ax² + bx + c расположен относительно оси Ox. Корни квадратного трёхчлена задают границы промежутков, а направление ветвей параболы помогает определить, где выражение положительно или отрицательно. Этот способ наглядно показывает, почему в ответ входят одни промежутки и не входят другие, а также помогает не ошибиться с включением корней.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Квадратное неравенство — неравенство вида ax² + bx + c > 0 или с другим знаком, где a ≠ 0. Здесь x — переменная, а a, b и c — числа. По такому неравенству нужно выяснить, при каких значениях x выражение принимает нужные значения.
Квадратичная функция — функция y = ax² + bx + c, графиком которой является парабола. Коэффициенты a, b и c определяют её положение и форму, а знак a — направление ветвей. График помогает увидеть знак выражения, не подставляя в него множество чисел по очереди.
Корни квадратного трёхчлена — значения x, при которых ax² + bx + c = 0. На графике это абсциссы точек пересечения параболы с осью Ox, где значение y равно нулю. Корни нужны, чтобы отметить границы промежутков, на которых проверяется знак выражения.
Решение квадратного неравенства — множество всех значений x, при которых неравенство верно. Его записывают как промежуток или объединение промежутков числовой прямой. При записи ответа учитывают, входят ли в него корни, то есть точки, где выражение равно нулю.
Неравенство ax² + bx + c > 0 можно представить как сравнение функции y = ax² + bx + c с нулём. На координатной плоскости нулю соответствуют все точки оси Ox, поэтому выше этой оси значения функции положительны, а ниже — отрицательны. Значит, для решения нужно найти участки графика по нужную сторону от Ox. Для знака ≥ подходят также точки, где график лежит на самой оси.
Корни уравнения ax² + bx + c = 0 делят числовую прямую на промежутки, потому что именно в этих точках выражение может стать равным нулю. Внутри промежутка график не пересекает ось Ox, а значит, не может перейти из области выше неё в область ниже или наоборот, не пройдя через ноль. Поэтому знак трёхчлена внутри каждого такого промежутка постоянен. Границы помогают определить, где проверять знак и как записывать ответ.
Направление ветвей показывает, в каких частях графика искать положительные и отрицательные значения. При a > 0 ветви направлены вверх, поэтому при двух корнях парабола находится ниже Ox между ними и выше оси за пределами корней. При a < 0 ветви направлены вниз: между двумя корнями график выше Ox, а вне их — ниже. Это позволяет определить знак на всех промежутках, не подставляя в каждый из них отдельное число.
Число действительных корней видно по пересечениям параболы с осью Ox. Если есть два пересечения, получаются два корня; если парабола только касается оси, корень один; если график проходит целиком выше или ниже оси, действительных корней нет. При одном корне знак по обе стороны остаётся одинаковым: график касается оси, но не переходит на другую сторону. При отсутствии пересечений знак также одинаков на всей числовой прямой.
Для строгих знаков > и < точки, где выражение равно нулю, не подходят, поэтому корни в ответ не включают. Для нестрогих знаков ≥ и ≤ ноль разрешён, значит, соответствующие корни включают. На графике это различие связано с тем, требуется ли быть строго выше или ниже Ox либо можно находиться на самой оси. В записи интервалов строгим концам соответствуют круглые скобки, а включённым корням — квадратные.
Метка
| Условие | Положение параболы относительно Ox | Где трёхчлен положителен | Где трёхчлен отрицателен |
|---|---|---|---|
| Два корня x₁ < x₂, a > 0 | Ветви вверх, пересекает Ox в двух точках | (−∞; x₁) и (x₂; +∞) | (x₁; x₂) |
| Два корня x₁ < x₂, a < 0 | Ветви вниз, пересекает Ox в двух точках | (x₁; x₂) | (−∞; x₁) и (x₂; +∞) |
| Один корень, a > 0 | Ветви вверх, касается Ox снизу | Всюду, кроме корня | Нигде |
| Один корень, a < 0 | Ветви вниз, касается Ox сверху | Нигде | Всюду, кроме корня |
| Нет действительных корней, a > 0 | Ветви вверх, график выше Ox | На всей числовой прямой | Нигде |
| Нет действительных корней, a < 0 | Ветви вниз, график ниже Ox | Нигде | На всей числовой прямой |
Сначала определите число корней и знак a, затем найдите в таблице соответствующую строку. В строках с корнями указаны знаки на открытых промежутках; для нестрогого неравенства добавьте подходящие корни, а для строгого оставьте их исключёнными.
Рассматриваем функцию y = x² − 4. Её график — парабола с ветвями вверх, поскольку коэффициент при x² равен 1 и положителен.
Находим точки пересечения с Ox: x² − 4 = 0, значит, x² = 4 и x = −2 или x = 2. Эти корни делят числовую прямую на три промежутка.
Между корнями парабола направлена ниже Ox, поэтому трёхчлен отрицателен при −2 < x < 2. Неравенство строгое, так что точки, в которых выражение равно нулю, не подходят.
Ответ: (−2; 2).
Сначала найдём корни уравнения −x² + x + 6 = 0. Умножим обе части на −1: x² − x − 6 = 0, откуда (x − 3)(x + 2) = 0 и корни равны −2 и 3.
Коэффициент a = −1, поэтому ветви параболы направлены вниз. Между корнями график находится выше Ox, а вне этого промежутка — ниже.
Неравенство требует, чтобы трёхчлен был неотрицательным. Значит, подходят значения от −2 до 3, включая оба корня: в них выражение равно нулю, что разрешено знаком ≥.
Ответ: [−2; 3].
Рассматриваем параболу y = 2x² − 4x + 5. Её ветви направлены вверх, так как a = 2 > 0.
Проверим, пересекает ли она Ox: дискриминант D = (−4)² − 4 · 2 · 5 = 16 − 40 = −24. Он меньше нуля, поэтому действительных корней и точек пересечения с Ox нет.
Парабола с ветвями вверх не пересекает Ox, следовательно, целиком расположена выше оси. Значит, трёхчлен положителен при любом x, и строгое неравенство выполняется для всех действительных чисел.
Ответ: x ∈ (−∞; +∞).
Выбирать промежуток только по расположению корней, не учитывая знак a, — ошибка: при одинаковых корнях направление ветвей меняет местами положительные и отрицательные участки. Её допускают, когда запоминают шаблон, но забывают проверить коэффициент при x². Перед выбором промежутка отметьте, направлены ли ветви вверх или вниз, и сверьте ответ с таблицей.
Можно перепутать, где трёхчлен положителен, а где отрицателен, если смотреть только на ось x. Знак выражения показывает положение графика по вертикали: выше Ox значения y положительные, ниже — отрицательные. Для проверки выберите по одному числу из каждого промежутка и подставьте его в трёхчлен: знак результата должен совпасть с выбранным участком.
Если включить корни в ответ для строгого неравенства, в решение попадут значения, при которых выражение равно нулю, а не больше или меньше нуля. Если исключить корни для нестрогого неравенства, будут потеряны допустимые значения. Проверяйте знак: > и < требуют круглых скобок, ≥ и ≤ позволяют включить соответствующую границу.
Нельзя считать, что у квадратного трёхчлена всегда два действительных корня. Парабола может касаться Ox в одной точке или вовсе не пересекать его; это зависит от расположения графика и значения дискриминанта. Найдите число корней до выбора промежутков, а если пересечений нет, определите знак по направлению ветвей.
Для этого способа нужно уметь решать квадратные уравнения: так находят корни и границы промежутков. Также пригодятся знания о графике функции y = ax² + bx + c и о влиянии коэффициента a на направление ветвей. Навык чтения графиков помогает и в других задачах: при решении систем неравенств нужно искать общие подходящие значения, а при сравнении функций — определять, где один график расположен выше другого.
Почему для решения неравенства нужно смотреть на положение графика относительно оси Ox?
Значение функции y = ax² + bx + c совпадает со значением трёхчлена в неравенстве. Выше оси Ox график имеет положительные значения, ниже — отрицательные.
Как определить, на каких промежутках парабола находится выше оси Ox?
Найдите точки пересечения параболы с осью Ox и отметьте их на числовой прямой. Затем по направлению ветвей и положению графика определите, где его значения положительны.
Что делать, если парабола не пересекает ось Ox?
В этом случае у трёхчлена нет действительных корней, и его знак не меняется на числовой прямой. При ветвях вверх он положителен всюду, при ветвях вниз — отрицателен всюду.
Нужно ли включать корни в ответ при знаках ≥ или ≤?
Да. В точках пересечения с осью Ox трёхчлен равен нулю, поэтому эти точки подходят для знаков ≥ и ≤. Для строгих знаков > и < корни не включают.
Как знак коэффициента a влияет на решение?
Знак a задаёт направление ветвей: при a > 0 они направлены вверх, при a < 0 — вниз. Это помогает понять, где значения трёхчлена положительны, а где отрицательны.
§ 1. Графический метод решения квадратных неравенств
