"Математика: алгебра и геометрия", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Линейное неравенство с двумя неизвестными задаёт условие для пар чисел (x; y). Его решения обычно нельзя перечислить по одному: они образуют область на координатной плоскости. Чтобы изобразить эту область, строят прямую, полученную заменой знака неравенства на равенство, а затем проверяют точку по одну из её сторон. Так можно наглядно решать и системы неравенств, находя общую часть областей.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Линейное неравенство с двумя неизвестными имеет вид ax + by < c; вместо знака < могут стоять >, ≤ или ≥. Здесь x и y — неизвестные, а a, b и c — заданные числа, называемые коэффициентами и свободным членом. Линейность означает, что неизвестные входят только в первой степени и не перемножаются друг с другом. Такая запись позволяет задать условие сразу для множества пар чисел.
Решением неравенства является любая пара чисел (x; y), при подстановке которой получается верное числовое неравенство. Например, для x + y ≤ 3 пара (1; 2) подходит, потому что 1 + 2 ≤ 3. Обычно решений бесконечно много, поэтому полезно не перечислять их по одному, а изображать все сразу на координатной плоскости. Каждой паре соответствует точка с координатами x и y.
Граничной прямой называют прямую ax + by = c, полученную заменой знака неравенства на знак равенства. На каждой её точке значения выражений ax + by и c совпадают. Прямая нужна, чтобы провести на рисунке границу между областями, где условие выполняется и не выполняется. Она также помогает определить, входит ли сама граница в решение.
Полуплоскость — одна из двух частей плоскости, на которые её делит прямая. Для линейного неравенства решением служит одна из этих частей: её точки дают подходящие пары (x; y). Если знак строгий, то есть < или >, граничная прямая в множество решений не входит. При знаках ≤ и ≥ она входит, потому что равенство тоже удовлетворяет условию.
Равенство ax + by = c задаёт прямую, если коэффициенты a и b не равны нулю одновременно. Например, в равенстве x + y = 3 каждому выбранному значению x соответствует значение y = 3 − x, а полученные пары лежат на одной прямой. На этой линии выражение ax + by − c равно нулю. Поэтому прямая служит границей: на одной её стороне выражение имеет один знак, а на другой — противоположный.
Почему знак меняется при переходе через границу? Выражение ax + by − c меняется непрерывно при перемещении точки по плоскости; чтобы перейти от положительного значения к отрицательному, оно должно стать нулём. Ноль получается именно на прямой ax + by = c. Значит, по одну сторону прямой выполняется одно строгое неравенство, а по другую — противоположное, и решения занимают одну полуплоскость.
Для построения сначала проведи граничную прямую, выбрав две удобные точки, которые ей принадлежат. Затем возьми пробную точку вне прямой и подставь её координаты в исходное неравенство. Если получено верное утверждение, отметь полуплоскость с этой точкой; если неверное — выбери другую. Проверка нужна потому, что по одному лишь виду прямой нельзя надёжно угадать нужную сторону.
Вид линии показывает, включена ли граница. При знаках ≤ и ≥ точки прямой удовлетворяют условию с равенством, поэтому линию рисуют сплошной. При знаках < и > точки границы не подходят, и её изображают пунктиром. После выбора области полезно проверить ещё одну точку внутри неё: это помогает заметить ошибку в направлении штриховки.
При преобразовании неравенства нужно помнить правило числовых неравенств: умножение или деление обеих частей на отрицательное число меняет знак сравнения на противоположный. Например, из 2x − y > 2 получаем −y > 2 − 2x, а после умножения на −1 — y < 2x − 2. Если забыть поменять знак, будет выбрана противоположная полуплоскость, хотя граничная прямая останется той же.
| Знак неравенства | Граничная прямая | Входит ли граница в решение | Как выбрать полуплоскость |
|---|---|---|---|
| < или > | ax + by = c | Нет; граница изображается пунктиром | Подстановкой координат точки, не лежащей на прямой |
| ≤ или ≥ | ax + by = c | Да; граница изображается сплошной линией | Подстановкой координат точки, не лежащей на прямой |
Сначала определи знак неравенства: от него зависит, включать ли прямую в ответ. Затем проверь пробную точку, чтобы выбрать сторону. Таблица помогает не перепутать способ изображения границы с направлением выбранной полуплоскости.
Чтобы изобразить все пары решений, сначала найдём прямую, на которой достигается равенство, а затем выберем подходящую сторону. Граница входит в ответ, поскольку знак нестрогий. Пробную точку удобно взять в начале координат: она не лежит на прямой.
Ответ: область по ту сторону прямой x + y = 3, где находится точка (0; 0), вместе с самой прямой.
Здесь важно не только построить границу, но и аккуратно выразить y: при переносе к нему приходится делить на отрицательное число. Ошибка в знаке изменила бы выбранную сторону. Проверка точки по исходному неравенству позволяет убедиться в результате.
Ответ: полуплоскость, задаваемая условием y < 2x − 2; пунктирная граница в решение не входит.
Система требует, чтобы обе неравенства выполнялись одновременно, поэтому сначала отметим их области на одном чертеже. Их пересечение задаёт все решения системы, а целые решения — точки этого пересечения с целыми координатами. Удобно преобразовать условия к ограничениям на y.
Ответ: целые пары (x; y), удовлетворяющие одновременно y ≤ 4 − x и y ≤ x; на чертеже это целочисленные точки общей области, включая обе границы.
Первая ошибка — назвать решением только одну пару чисел, например (1; 2) для условия x + y ≤ 3. Подстановка лишь подтверждает, что эта пара подходит, но не показывает остальные решения; обычно таких пар бесконечно много. Чтобы проверить себя, спроси: описал ли я всю область или привёл только пример? Для полного ответа изобрази полуплоскость и укажи границу.
Вторая ошибка — при умножении или делении на отрицательное число оставить знак неравенства прежним. Такое случается, когда преобразование записывают механически и забывают правило числовых неравенств. В результате может быть выбрана противоположная сторона прямой. Проверяй преобразование на простом примере, например 2 > 1: после умножения на −1 верно −2 < −1.
Третья ошибка — выбирать направление полуплоскости на глаз. Одна и та же прямая делит плоскость на две стороны, но только одна из них удовлетворяет исходному условию. Подставь координаты точки, не лежащей на линии, и проверь получившееся числовое неравенство. Если оно верно, выбирай сторону с этой точкой; при сомнении проверь точку из выбранной области.
Четвёртая ошибка — перепутать сплошную и пунктирную границы. Иногда строгий знак ошибочно считают достаточным для включения прямой, а при ≤ или ≥, наоборот, исключают её. На самой границе выражения равны, поэтому подстановка сразу показывает: равенство подходит только при нестрогом знаке. Перед завершением решения сверь знак и тип линии.
Для построения граничной прямой нужно уметь находить её точки подстановкой координат и проводить прямую через две точки. Также пригодятся свойства числовых неравенств, особенно правило смены знака при умножении или делении на отрицательное число. Графическое изображение помогает решать системы: общими решениями будут точки пересечения выбранных областей. Этот способ используется и в задачах линейного программирования, где ищут наибольшее или наименьшее значение выражения при заданных ограничениях.
Почему множество решений линейного неравенства является полуплоскостью?
Граничная прямая ax + by = c делит плоскость на две части. По одну сторону выражение ax + by − c положительно, по другую — отрицательно, поэтому условию неравенства отвечает одна из этих частей. При нестрогом знаке к ней добавляется сама прямая.
Как определить, какую сторону граничной прямой нужно выбрать?
Возьми координаты любой точки, которая не лежит на граничной прямой, например (0; 0), если она подходит. Подставь координаты в исходное неравенство. Если оно верно, выбирай сторону с этой точкой; если неверно — противоположную.
Когда граничную прямую рисуют сплошной, а когда пунктирной?
Для знаков ≤ и ≥ границу рисуют сплошной, потому что точки на прямой удовлетворяют равенству и входят в решение. Для знаков < и > используют пунктир: равенство на границе не подходит, поэтому она не входит в множество решений.
Может ли точка на граничной прямой быть решением неравенства?
Да, если неравенство нестрогое: ax + by ≤ c или ax + by ≥ c. На граничной прямой выполняется ax + by = c. При строгих знаках < и > это равенство условию не удовлетворяет.
Что происходит со знаком неравенства при умножении на отрицательное число?
Знак сравнения меняется на противоположный: например, из 2 > 1 после умножения обеих частей на −1 получается −2 < −1. Это правило нужно учитывать и при преобразовании неравенства с двумя неизвестными, например при выражении y через x.
§ 2. Линейные неравенства с двумя неизвестными
