"Математика: алгебра и геометрия", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Неравенство с двумя неизвестными сравнивает выражения, зависящие от x и y. Его решением служит пара чисел, при которой сравнение становится верным, а все такие пары вместе образуют множество решений. Обычно решений бесконечно много: на координатной плоскости им соответствует область точек. Чтобы преобразовывать неравенство без потери решений, нужно прибавлять одинаковое выражение к обеим частям и учитывать знак числа, на которое умножают или делят.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Неравенство с двумя неизвестными — это запись, в которой сравниваются два выражения, зависящие от двух переменных, обычно x и y. Например, x + y > 2 сравнивает сумму переменных с числом 2. Неизвестные показывают, от каких значений зависит истинность сравнения.
Решение неравенства — упорядоченная пара значений (x; y), при подстановке которой вместо соответствующих неизвестных получается верное неравенство. Например, в паре (2; 1) число 2 относится к x, а число 1 — к y. Это определение позволяет проверять конкретные пары.
Множество решений — совокупность всех пар, удовлетворяющих неравенству. В отличие от уравнения с двумя неизвестными, у неравенства обычно не одна пара решений, а бесконечно много. Понятие множества помогает описать их все сразу.
Равносильные неравенства — неравенства с одинаковыми множествами решений. Их записи могут выглядеть по-разному, но подходящие пары в них одни и те же. Поэтому равносильное преобразование удобно для упрощения записи без изменения ответа.
Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же выражение, сравнение сохранится. Для любой пары x и y значение прибавленного выражения слева и справа будет одинаковым, поэтому разность между частями не изменится. Например, из x + y > 2 можно получить x + y − y > 2 − y, то есть x > 2 − y. При этом набор подходящих пар остаётся прежним.
Умножение или деление обеих частей на положительное число сохраняет знак неравенства, потому что порядок чисел при таком действии не меняется. С отрицательным числом порядок становится противоположным: например, 2 < 5, но −2 > −5. Поэтому при умножении или делении на отрицательное число знак нужно развернуть. Оба правила применяются к значениям частей при каждой паре переменных, так что правильное преобразование сохраняет решения.
Транзитивность — свойство сравнения, позволяющее соединять два неравенства с общей частью. Если для одной и той же пары значений A < B и B < C, то A < C: число A меньше B, а B меньше C, значит, A меньше C. Аналогично работают знаки ≤, ≥ и > при согласованном сравнении. Новое неравенство следует из исходных, но само по себе не всегда равносильно каждому из них.
Проверка пары начинается с аккуратной подстановки: первую координату ставят вместо x, вторую — вместо y. Затем вычисляют обе части и проверяют знак между полученными числами. Например, для пары (2; 1) в выражении x + y > 2 получается 2 + 1 > 2, то есть 3 > 2. Сравнение верное, поэтому пара подходит.
На координатной плоскости паре (x; y) соответствует точка: x задаёт её положение по горизонтали, y — по вертикали. Каждой точке можно сопоставить проверку неравенства, поэтому все решения образуют область плоскости. Часто её границей служит прямая, полученная заменой знака неравенства на равенство. Входит ли сама прямая в множество решений, зависит от знака: при ≤ или ≥ входит, при < или > — нет.
| Действие | Условие | Что происходит со знаком | Что происходит с множеством решений |
|---|---|---|---|
| Прибавление одного выражения к обеим частям | Прибавляют одно и то же выражение | Сохраняется | Не меняется |
| Умножение или деление обеих частей на положительное число | Число больше нуля | Сохраняется | Не меняется |
| Умножение или деление обеих частей на отрицательное число | Число меньше нуля | Меняется на противоположный | Не меняется |
| Сравнение по транзитивности | Есть общая часть: A < B и B < C | Получаем A < C | Новое неравенство следует из исходных |
Перед преобразованием найдите в таблице нужное действие и проверьте, выполнено ли его условие. Для умножения и деления особенно важно определить знак числа. Транзитивность используют, когда нужно вывести сравнение из двух уже известных неравенств.
Задача. Проверить, является ли пара (2; 1) решением неравенства x + y > 2. Нужно подставить числа именно на места соответствующих переменных. Затем сравнить получившиеся значения.
Ответ: пара (2; 1) является решением.
Задача. Преобразовать неравенство 2x − y < 5, прибавив к обеим частям выражение y − 2. Одинаковое прибавление сохраняет знак, поэтому можно выполнять действие сразу с обеими частями. Следим за скобками, чтобы прибавить всё выражение целиком.
Ответ: 2x − 2 < y + 3. Это неравенство равносильно исходному, поскольку к обеим частям прибавлено одно выражение.
Задача. Решить неравенство −3x + 2y ≥ 6 и описать его множество решений. Чтобы изобразить решения, удобно выразить y через x. При делении на отрицательное число знак пришлось бы изменить, поэтому сначала перенесём слагаемое с x, а затем разделим на положительное число.
Ответ: все пары (x; y), для которых y ≥ 3/2x + 3; на плоскости это полуплоскость над прямой вместе с самой прямой.
При умножении или делении на отрицательное число иногда оставляют прежний знак. Так делают, перенося привычку к положительным множителям, но порядок чисел при отрицательном множителе меняется на обратный. Проверка на числовом примере 2 < 5: после умножения на −1 получаем −2 > −5. Если знак не развернулся, преобразование неверно.
Прибавление выражения только к одной части меняет сравнение и обычно множество решений. Ошибка возникает, когда преобразование записывают устно и забывают повторить действие справа или слева. Чтобы проверить себя, запишите прибавляемое выражение возле обеих частей и убедитесь, что оно одинаковое. Например, из x < 3 нельзя просто получить x + 2 < 3.
Иногда считают, что у неравенства есть только одна пара решений. Это заблуждение появляется, если воспринимать его как уравнение; на самом деле одна проверенная пара не описывает все остальные. Подставьте другие значения или представьте решения как точки: обычно их бесконечно много. Помните, что решение — любая подходящая пара, а множество решений включает их все.
Перестановка координат пары меняет значения, подставляемые вместо x и y. Эту ошибку допускают, не учитывая порядок записи (x; y), особенно когда числа похожи. Проверяйте подстановку по буквам: первое число — вместо x, второе — вместо y. Для контроля можно отдельно записать строку x = …, y = … до вычислений.
Для работы с неравенствами нужны навыки сравнения чисел и действий с положительными и отрицательными числами. Также необходимо понимать координатную плоскость и соответствие точки координатам (x; y). Это помогает перейти от проверки отдельных пар к изображению целой области решений. Такие области понадобятся при решении систем неравенств с двумя неизвестными: там нужно найти пары, удовлетворяющие всем неравенствам сразу.
Что считается решением неравенства с двумя неизвестными?
Решение — это упорядоченная пара чисел (x; y), при подстановке которой неравенство становится верным. Порядок важен: первое число подставляют вместо x, второе — вместо y.
Как проверить, подходит ли данная пара чисел?
Подставьте первое число вместо x, а второе — вместо y. Вычислите обе части и проверьте, верно ли полученное числовое неравенство.
Почему при умножении на отрицательное число знак меняется?
Умножение чисел на отрицательное число меняет их порядок: например, из 2 < 5 следует −4 > −10. Поэтому при умножении или делении обеих частей на отрицательное число знак неравенства переворачивается.
Можно ли прибавить к обеим частям неравенства выражение с неизвестными?
Да, если прибавить одно и то же выражение к обеим частям. Равенство добавленных слагаемых сохраняет сравнение для каждой пары x и y.
Как множество решений неравенства изображают на координатной плоскости?
Каждую пару (x; y) изображают точкой с координатами x и y. Все точки, соответствующие решениям, образуют область; прямая-граница входит в неё при знаках ≤ или ≥, а при < или > не входит.
§ 1. Общие свойства неравенств с двумя неизвестными
