"Математика: алгебра и геометрия", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Хорды, секущие и касательные помогают находить неизвестные длины в задачах об окружности. Если хорды пересекаются внутри окружности, произведения частей каждой хорды равны. Для секущих, проведённых из одной внешней точки, равны произведения внешнего отрезка на всю секущую; похожее правило связывает касательную и секущую. Радиус в точку касания перпендикулярен касательной, а две касательные из одной внешней точки равны. Эти свойства позволяют составлять уравнения и доказывать геометрические утверждения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности. Диаметр является частным случаем хорды: его концы лежат на окружности, а сам он проходит через центр. Это различие помогает понять, какие отрезки можно сравнивать в задачах об окружности.
Секущая — прямая, пересекающая окружность в двух точках. Она содержит хорду, но не равна ей: секущая продолжается по обе стороны от окружности, а хорда ограничена точками пересечения. Поэтому для вычислений важно отмечать не только внутренний отрезок, но и часть секущей снаружи.
Касательная — прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку; её называют точкой касания. Например, PT — касательная, а T — точка касания. Такое обозначение помогает отличать касательную от секущей, даже если обе прямые проведены из одной точки.
Степень точки относительно окружности — величина, связанная с произведением отрезков секущей, проведённой из этой точки. Для внешней точки произведение внешнего отрезка на всю секущую остаётся одинаковым для разных секущих. Это понятие объединяет несколько правил и помогает выбирать нужное соотношение.
Пусть хорды AB и CD пересекаются внутри окружности в точке P. Тогда PA · PB = PC · PD: произведения частей хорд равны. Причина в подобии треугольников APC и DPB: их углы при P равны как вертикальные, а другие пары углов опираются на одну и ту же дугу. Из подобия следует отношение соответствующих сторон; после перемножения оно превращается в равенство произведений отрезков.
Если из внешней точки P проведены две секущие PAB и PCD, то PA · PB = PC · PD, где A и C — ближние, а B и D — дальние точки пересечения. Это равенство тоже следует из подобия треугольников, образованных секущими и хордами. В произведение входит внешний отрезок и вся секущая: в подобии дальняя точка задаёт полную сторону от P, поэтому внутреннюю часть отдельно подставлять нельзя.
Если из P проведены касательная PT и секущая PAB, то PT² = PA · PB. Это частный случай правила для двух секущих: касательную можно представить как секущую, у которой две точки пересечения с окружностью слились в T. Тогда оба множителя для неё равны PT, то есть их произведение — PT · PT. Для второй секущей остаются внешний отрезок PA и полная длина PB.
Радиус OT, проведённый к точке касания T, перпендикулярен касательной. Перпендикуляр из точки к прямой является кратчайшим отрезком от этой точки до прямой. Если бы OT не был перпендикулярен касательной, на прямой нашлась бы точка ближе к O, чем T; она оказалась бы внутри круга, и прямая пересекла бы окружность ещё раз. Это противоречит тому, что у касательной только одна общая точка с окружностью.
Две касательные PT и PQ, проведённые из одной внешней точки P, имеют равные длины: PT = PQ. Радиусы OT и OQ равны, а углы при T и Q прямые, поскольку радиус перпендикулярен касательной. Треугольники OPT и OPQ — прямоугольные, у них общая гипотенуза OP и равные катеты-радиусы; значит, треугольники равны. Из равенства соответствующих сторон следует, что длины касательных совпадают.
| Ситуация | Соотношение | Какие отрезки входят |
|---|---|---|
| Две хорды пересекаются внутри окружности | PA · PB = PC · PD | Отрезки каждой хорды от точки пересечения до её концов |
| Из внешней точки проведены две секущие | PA · PB = PC · PD | В каждой секущей: внешний отрезок и вся секущая |
| Из внешней точки проведены касательная и секущая | PT² = PA · PB | Касательная; внешний отрезок секущей и вся секущая |
| Радиус проведён в точку касания | OT ⟂ PT | Радиус и касательная в точке касания |
| Из одной внешней точки проведены две касательные | PT = PQ | Отрезки касательных до точек касания |
Сначала определите, где находится точка пересечения: внутри окружности или снаружи. Затем проверьте, какие именно части входят в произведение: для внешней секущей один из множителей — её полная длина. Обозначения должны соответствовать порядку точек на прямой: ближняя точка встречается первой, дальняя — второй.
Задача 1. Две хорды пересекаются в точке P. Отрезки одной хорды равны 3 см и 8 см, один отрезок другой — 4 см. Найдите второй отрезок. Здесь точка P находится внутри окружности, значит, нужно перемножить части каждой хорды, а не составлять формулу для внешней секущей.
Ответ: 6 см.
Задача 2. Из точки P вне окружности проведены две секущие. В первой внешний отрезок равен 4 см, внутренняя часть — 5 см; во второй внешний отрезок равен 3 см. Найдите длину её внутренней части. Сначала надо получить полные длины секущих: в равенстве участвуют именно они, а не только внутренние части.
Ответ: 9 см.
Задача 3. Из точки P проведены касательная PT и секущая PAB. Известно, что PA = 5 см, AB = 4 см. Найдите PT. Точка A ближе к P, поэтому PA — внешняя часть, а для формулы потребуется вся секущая от P до B.
Ответ: 3√5 см.
Для секущей иногда умножают внешний отрезок на внутреннюю часть. Так ошибаются, потому что принимают слово «секущая» за отрезок внутри круга; в формуле же второй множитель — расстояние от внешней точки до дальней точки пересечения, то есть вся секущая. Отметьте ближнюю и дальнюю точки и проверьте, складывали ли вы внешний и внутренний отрезки.
Формулы для пересекающихся хорд и внешних секущих похожи, поэтому их легко перепутать. Однако в первом случае точка пересечения находится внутри окружности, и перемножаются две части каждой хорды; во втором общая вершина лежит снаружи. Перед подстановкой нарисуйте схему или словесно установите положение точки.
Запись PT = PA · PB вместо PT² = PA · PB — ошибка: слева длина, а справа произведение двух длин. Она возникает, когда забывают, что касательная заменяет две совпавшие секущие части. Проверьте равенство размерностей: длина должна быть равна длине, поэтому слева необходимо PT².
Нельзя считать касательную перпендикулярной любой хорде. Перпендикулярность относится к радиусу, проведённому именно в точку касания; путаница возникает из-за того, что оба отрезка связаны с окружностью. Проверьте, выходит ли радиус из центра и заканчивается ли он в точке касания.
Для изучения свойств нужны определения окружности, радиуса и хорды, а также подобие треугольников и теорема Пифагора. Подобие объясняет равенства произведений, а перпендикулярность радиуса касательной позволяет рассматривать прямоугольные треугольники. Эти соотношения применяют, чтобы находить длины отрезков и доказывать геометрические утверждения. Они связаны со степенью точки и помогают исследовать взаимное расположение прямых и окружностей.
Как отличить хорду от секущей?
Хорда — отрезок с концами на окружности. Секущая — прямая, которая пересекает окружность в двух точках; она содержит хорду, но продолжается за её концы.
Почему для секущей нужно умножать внешний отрезок на всю секущую?
Такое произведение получается из подобия треугольников, построенных на двух секущих. Вторая сторона произведения — расстояние от внешней точки до дальней точки пересечения с окружностью, то есть длина всей секущей.
Как понять, какую формулу применять: для хорд или для секущих?
Смотрите, где расположена общая точка. Если две хорды пересеклись внутри окружности, перемножайте части каждой хорды; если две секущие выходят из внешней точки, умножайте внешний отрезок на всю секущую.
Почему длина касательной возводится в квадрат?
Касательную можно рассматривать как предельный случай секущей, у которой точки пересечения совпали в точке касания. Поэтому в равенстве произведений появляется одна и та же длина дважды: PT · PT = PT².
Обязательно ли радиус перпендикулярен касательной?
Радиус перпендикулярен касательной именно в точке касания. Радиус, проведённый к другой точке прямой, обычно не образует с ней прямого угла.
§ 2. Свойства хорд, секущих и касательных
