§ 2. Правило суммы. Правило произведения

Определения и обозначения

Правило суммы гласит: если объект можно выбрать одним из нескольких несовместимых способов, общее число вариантов равно сумме чисел вариантов каждого способа. Например, при выборе напитка из нескольких видов сока или воды складывают количества соков и вод. Правило помогает считать варианты по отдельным группам.

Правило произведения гласит: если выбор состоит из нескольких последовательных шагов, общее число вариантов находят умножением количеств вариантов на шагах. Например, комплект из двух предметов задаётся выбором каждого предмета. Это правило удобно, когда результат составляют из нескольких частей.

Несовместимые варианты — такие варианты, которые не могут осуществиться одновременно. Если выбирают один напиток, он не может быть одновременно соком и водой, поэтому группы не пересекаются. Это условие нужно проверить перед сложением, чтобы не посчитать один результат дважды.

Последовательные выборы — выборы, выполняемые один за другим, например сначала блокнота, затем ручки. На каждом шаге может быть несколько вариантов, а итогом становится сочетание сделанных выборов. Такое устройство задачи позволяет применить правило произведения.

Как это устроено

Правило суммы используют, когда варианты разделены на случаи и нужно выбрать вариант только из одного случая. Каждый возможный результат тогда принадлежит ровно одной группе. Поэтому достаточно посчитать варианты внутри каждой группы и сложить полученные числа: ни один результат не потеряется и не будет учтён повторно.

Условие несовместимости здесь принципиально. Если один и тот же результат попадает сразу в две группы, при сложении он будет посчитан два раза. Например, при подсчёте учеников, занимающихся в кружках, могут пересекаться группы участников разных кружков. Нужно сначала разделить варианты на случаи без пересечений либо отдельно учесть общую часть.

Правило произведения можно понять через перебор пар. Для каждого варианта первого шага можно выполнить каждый вариант второго шага, поэтому каждому первому выбору соответствует одинаковое число пар. Если на первом шаге есть 3 варианта, а на втором — 4, получаются 4 пары для каждого из 3 вариантов, то есть 3 · 4 = 12.

При нескольких шагах перемножают количество вариантов на каждом шаге, если эти количества заданы для соответствующих условий выбора. Но число возможностей следующего шага иногда зависит от предыдущего. Тогда нельзя механически перемножить одно и то же число на всех шагах: нужно отдельно рассмотреть возможные первые выборы, посчитать продолжения для каждого и сложить результаты.

Перед вычислением полезно представить задачу как набор случаев или цепочку шагов. Случаи для суммы должны быть несовместимы, а последовательность для произведения должна описывать, как именно собирается итоговый результат. Такая проверка помогает выбрать правило и убедиться, что каждый результат учтён один раз.

Как выбрать правило подсчёта

Сначала определите, выбирается ли один вариант из разных групп или итог составляется из нескольких выборов. Затем проверьте условие в нужном столбце: отсутствие пересечений для суммы или устройство шагов для произведения. Таблица подсказывает правило, но сама проверка условия задачи остаётся обязательной.

Разбор задач

Один напиток в буфете

В школьном буфете можно купить один из 4 видов сока или один из 3 видов воды. Нужно определить число вариантов покупки одного напитка. Покупатель выбирает только сок либо только воду, поэтому группы вариантов не пересекаются.

1. Выделим два случая: покупка сока и покупка воды.
2. Для сока есть 4 варианта, для воды — 3.
3. Применим правило суммы: 4 + 3 = 7.

Ответ: 7 вариантов. Здесь сложение подходит, потому что выбирают один напиток из двух несовместимых групп. Если бы можно было купить сразу и сок, и воду, задача уже описывала бы несколько последовательных выборов.

Комплект из блокнота и ручки

Ученик выбирает один из 5 блокнотов и одну из 4 ручек. Комплект включает оба предмета, поэтому выбор состоит из двух шагов. Для каждого блокнота можно подобрать любую из четырёх ручек.

1. На первом шаге есть 5 вариантов выбора блокнота.
2. Для каждого выбранного блокнота на втором шаге остаётся 4 варианта ручки.
3. Перемножим числа: 5 · 4 = 20.

Ответ: 20 разных комплектов. Умножение учитывает все возможные пары «блокнот — ручка». Складывать 5 и 4 нельзя: один итоговый комплект содержит и блокнот, и ручку.

Двузначные числа без повторения цифр

Нужно составить двузначное число из цифр 1, 2, 3, 4 так, чтобы цифры не повторялись. Результат задаётся выбором цифры десятков и цифры единиц. Второй выбор зависит от первого, потому что использованную цифру повторять нельзя.

1. Для цифры десятков доступны все 4 цифры.
2. После её выбора для цифры единиц остаются 3 цифры.
3. Для каждого выбора десятков есть 3 продолжения, поэтому 4 · 3 = 12.

Ответ: 12 двузначных чисел. Здесь число вариантов второго шага определено с учётом первого: оно равно трём, а не четырём. Если бы повторение разрешалось, для каждой цифры десятков оставались бы все 4 варианта цифры единиц.

Типичные ошибки

Складывают варианты последовательных шагов. Ошибка возникает, когда слова «и то и другое» принимают за альтернативу «или одно, или другое». Проверьте, должен ли итог включать оба выбора: если да, обычно требуется умножение, как при составлении комплекта из двух предметов.

Перемножают варианты альтернативных способов. Так поступают, если видят несколько чисел и автоматически применяют умножение, хотя выбирается только один способ. Спросите себя, нужно ли выполнить оба выбора одновременно или достаточно одного из них. Для несовместимых групп, из которых берут один вариант, количества складывают.

Складывают количества пересекающихся групп без поправки. Общие варианты тогда учитываются дважды, потому что принадлежат сразу обеим группам. Ошибку допускают, не проверив, могут ли случаи совпасть. Чтобы проверить себя, представьте конкретный результат и выясните, может ли он попасть в обе группы.

Считают число вариантов следующего шага неизменным. Это неверно, если предыдущий выбор что-то исключает, например занятую цифру. Ошибка появляется, когда шаги считают отдельно, не учитывая их связь. После каждого шага проверьте, какие варианты остались доступными, и при необходимости разделите подсчёт на случаи.

Связь с другими темами

Для применения правил нужны арифметические действия и умение внимательно читать условие: важно отличать случаи от шагов и замечать пересечения. Эти правила лежат в основе комбинаторных задач, где считают способы составить пары, наборы или последовательности. Они также помогают подсчитывать возможные пароли и встречаются при изучении вероятности, когда нужно узнать число исходов.

Что запомнить

• Несколько несовместимых способов выбора — количества вариантов складывают.
• Несколько последовательных шагов выбора — количества вариантов перемножают.
• Перед сложением проверь, что случаи не пересекаются.
• При умножении проверь, сколько вариантов доступно на каждом шаге.
• Если количество вариантов зависит от предыдущего выбора, разбей подсчёт на отдельные случаи.