"Математика: алгебра и геометрия", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Комбинаторная задача требует посчитать возможные варианты выбора, расположения или действий. Для подсчёта важно сначала определить, что именно считается одним вариантом, а затем понять, как устроен выбор: нужно выбрать один из разных способов или выполнить несколько действий подряд. В первом случае используют правило суммы, во втором — правило произведения. Схемы и систематический перебор помогают проверить, что все варианты учтены без пропусков и повторов.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Комбинаторная задача — задача, в которой требуется подсчитать число возможных вариантов выбора, расположения или выполнения действий. Например, можно выяснять, сколько комплектов одежды получится или сколькими путями можно добраться до пункта назначения. Это определение помогает увидеть, что именно нужно сосчитать, а не просто выполнить вычисления. Перед решением полезно словами назвать один вариант.
Правило суммы — способ подсчёта вариантов, когда выбирают один из нескольких взаимоисключающих способов: числа вариантов складывают. Взаимоисключающие способы не дают одного и того же результата одновременно. Например, если выбирают один напиток — сок или чай, — выбор сока не может быть одновременно выбором чая. Правило нужно, чтобы объединить отдельные группы исходов без повторного счёта.
Правило произведения — способ подсчёта вариантов последовательного выполнения нескольких действий: числа вариантов для каждого действия перемножают. Оно подходит, когда после любого выбора на одном этапе можно рассмотреть предусмотренные варианты следующего этапа. Так подсчитывают, например, комплекты из предметов одежды разных видов. Правило позволяет не перечислять каждое сочетание по отдельности.
Перебор вариантов — последовательное перечисление возможных исходов, помогающее подсчитать их и проверить, что ни один не пропущен. Чтобы перебор был надёжным, варианты записывают по выбранному порядку, а не вспоминают как попало. Такой способ полезен для небольших задач и для проверки подсчёта по правилам. Таблица или дерево вариантов делают порядок заметным.
Сначала выясняют, что считать одним вариантом и какие результаты отличаются друг от друга. Если задача спрашивает о комплекте, то вариант — это весь комплект, а не отдельная вещь; изменение хотя бы одного его элемента обычно создаёт другой вариант. Если же спрашивают только о выбранном напитке, то каждый вид напитка представляет отдельный исход. Такая точность нужна, чтобы не посчитать лишнее и не упустить нужное.
Когда выбирают один из нескольких взаимоисключающих способов, каждый способ задаёт свою группу исходов. Например, можно взять сок или чай, но не то и другое одновременно, если по условию выбирают один напиток. Тогда группы не пересекаются: ни один исход не относится сразу к обеим. Поэтому достаточно сложить их размеры; прежде чем это делать, нужно проверить, не может ли один и тот же результат попасть в разные группы.
При последовательном выборе сначала рассматривают один этап, а затем другой. Если каждый вариант первого выбора можно сочетать с каждым вариантом второго, то для каждого первого варианта появляется одинаковое число продолжений. Поэтому число пар равно числу вариантов первого этапа, умноженному на число вариантов второго: каждый вариант как бы повторяется со всеми продолжениями. Если же какое-то сочетание запрещено, нельзя без проверки перемножать исходные числа — ограничения нужно учесть отдельно.
Один сюжет часто удобно разбить на этапы выбора. Для комплекта одежды это, например, выбор рубашки, а затем брюк; для поездки — выбор пути до промежуточного пункта и следующего участка. Схема записывает этапы словами и показывает, где складывать, а где умножать. Дерево вариантов строят ветвями: от каждого решения проводят ветви к возможным продолжениям, поэтому итоговые пути от начала до конца соответствуют полным вариантам.
Систематический перебор помогает проверить вычисления, потому что задаёт ясный порядок: например, сначала фиксируют первый выбор, а затем записывают все возможные продолжения. После этого переходят к следующему первому выбору и снова перечисляют продолжения. Так легче заметить пропуск или повтор, чем при случайном списке. Если вариантов много, перебор может стать неудобным, поэтому его используют вместе с таблицей, деревом или правилами подсчёта.
| Ситуация | Что происходит с вариантами | Действие | Проверка |
|---|---|---|---|
| Выбирается один из взаимоисключающих способов | Каждый способ даёт отдельную группу вариантов | Сложить числа вариантов в группах | Убедиться, что группы не пересекаются |
| Выполняются несколько последовательных выборов | Каждый вариант одного этапа сочетается с вариантами следующего | Перемножить числа вариантов на этапах | Проверить, что учтены все этапы и число возможностей на каждом этапе |
Сначала определите, что происходит в задаче: выбирается один способ или выполняются несколько действий подряд. Затем проверьте условия применимости правила и выберите действие из таблицы. Если в условии есть ограничения или возможные совпадения, сначала отразите их в группах или этапах выбора.
Условие. В буфете есть 4 вида сока и 3 вида чая. Сколькими способами можно выбрать один напиток? Здесь вариант — один выбранный напиток, а сок и чай составляют разные группы. Поскольку выбирают только один напиток, одновременно выбрать сок и чай нельзя.
Ответ: 7 способов.
Условие. Для поездки выбирают одну из 3 рубашек и одни из 2 пар брюк. Сколько разных комплектов можно составить? Один вариант здесь — пара из рубашки и брюк. Это два последовательных выбора, а не выбор одного предмета из общей группы.
Ответ: 6 разных комплектов.
Условие. Из города A в город B ведут 3 дороги, а из B в город C — 4 дороги. Дополнительно из A в C можно проехать по 2 прямым маршрутам. Сколько маршрутов из A в C можно выбрать? Маршрут через B состоит из двух участков, а прямой маршрут образует отдельный способ поездки.
Ответ: 14 маршрутов.
Для решения задач нужны арифметические действия и внимательное чтение условия: важно выделить этапы выбора и ограничения. Правила подсчёта вариантов пригодятся при изучении вероятности, потому что позволяют найти число всех исходов и число подходящих исходов. Перебор связан с таблицами, схемами и деревом вариантов: они организуют поиск и помогают увидеть структуру задачи. Выбирайте такое представление, в котором легко проверить полноту подсчёта.
Как понять, нужно складывать или умножать числа вариантов?
Если выбирают один способ из нескольких непересекающихся групп, числа вариантов складывают. Если выбор состоит из нескольких последовательных действий и варианты каждого этапа сочетаются, числа перемножают.
Когда варианты считаются различными?
Это зависит от того, что именно требуется выбрать или составить. Например, рубашка с одними брюками и та же рубашка с другими брюками — разные комплекты, а выбор одной и той же рубашки повторно новым вариантом не считается.
Можно ли применять правило суммы, если некоторые варианты повторяются?
Нельзя просто сложить размеры групп: общие варианты будут посчитаны дважды. Сначала нужно разделить варианты на непересекающиеся группы или отдельно учесть пересечение.
Как проверить, что при переборе ничего не пропущено?
Задайте постоянный порядок перечисления и отмечайте каждый вариант ровно один раз. Затем сравните число записанных вариантов с подсчётом по правилу суммы или произведения, если его можно выполнить.
Зачем рисовать дерево вариантов, если можно сразу посчитать?
Дерево показывает этапы выбора и то, какие продолжения есть у каждого решения. Оно особенно полезно, когда условия ограничивают некоторые сочетания или когда нужно проверить, не пропущены ли варианты.
§ 1. Примеры комбинаторных задач
