"Математика: алгебра и геометрия", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Геометрическая прогрессия — последовательность, в которой каждый следующий член получают умножением предыдущего на одно и то же число. Это число называют знаменателем и обозначают q. По первому члену и знаменателю можно найти любой член последовательности, а также сумму нескольких первых членов. Эти формулы помогают описывать повторяющееся увеличение или уменьшение величин, например при начислении процентов.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Геометрическая прогрессия — последовательность, каждый следующий член которой получается умножением предыдущего на одно и то же число. Например, в последовательности 3, 6, 12, 24 каждый член после первого вдвое больше предыдущего. Такое правило позволяет продолжать последовательность и находить её члены.
Знаменатель геометрической прогрессии — постоянное число q, на которое умножают член, чтобы получить следующий: bₙ₊₁ = bₙq. Буквой bₙ обозначают член с номером n, а bₙ₊₁ — следующий за ним. Зная знаменатель, можно последовательно построить всю прогрессию.
Формула n-го члена выражает любой член через первый член и знаменатель: bₙ = b₁qⁿ⁻¹. Здесь b₁ — первый член, а n — номер искомого члена. Формула нужна, чтобы сразу вычислить нужный член, не выписывая все предыдущие.
Сумма первых n членов — это b₁ + b₂ + … + bₙ. Для её нахождения используют формулу, зависящую от значения q. Она заменяет длинное сложение выражением через первый член, знаменатель и количество слагаемых.
Если каждый член умножают на одно и то же число, последовательность полностью задаётся первым членом и этим множителем. Например, при b₁ = 3 и q = 2 получаем b₂ = 6, b₃ = 12, b₄ = 24. Число q называют знаменателем: оно показывает, во сколько раз изменяется член при переходе к следующему. Знаменатель может быть положительным, отрицательным или равным нулю.
Формулу общего члена можно получить, прослеживая переходы от первого члена. Для второго нужно умножить b₁ на q один раз: b₂ = b₁q; для третьего — ещё раз: b₃ = b₁q². Далее b₄ = b₁q³, поэтому до члена с номером n множитель q применяется n − 1 раз. Отсюда bₙ = b₁qⁿ⁻¹; первый член соответствует нулю переходов.
Чтобы найти знаменатель по двум соседним членам, нужно следующий разделить на предыдущий: q = bₙ₊₁ / bₙ. Например, если соседние члены равны 6 и 12, то q = 12 / 6 = 2. Порядок важен: обратное отношение даст число, которое не описывает переход от 6 к 12. Если предыдущий член равен нулю, делить на него нельзя, поэтому такой способ поиска q не применяется.
Формулу суммы получают вычитанием двух равенств. Обозначим Sₙ = b₁ + b₂ + … + bₙ и умножим всю сумму на q: qSₙ = b₂ + b₃ + … + bₙ₊₁. При вычитании первого равенства из второго промежуточные члены сокращаются: qSₙ − Sₙ = bₙ₊₁ − b₁. Так как bₙ₊₁ = b₁qⁿ, получаем (q − 1)Sₙ = b₁(qⁿ − 1), откуда при q ≠ 1 следует Sₙ = b₁(1 − qⁿ) / (1 − q).
При q = 1 каждый член получается умножением предыдущего на 1, поэтому все члены равны b₁. Тогда складываются n одинаковых чисел и Sₙ = nb₁. В обычной формуле суммы при q = 1 знаменатель 1 − q обращается в ноль, а деление на ноль невозможно. Поэтому для этого случая используют отдельную формулу.
| Что рассматриваем | Определение или формула | Условия применения |
|---|---|---|
| Переход к следующему члену | bₙ₊₁ = bₙq | Для соседних членов прогрессии |
| Знаменатель прогрессии | q = bₙ₊₁ / bₙ | bₙ ≠ 0 |
| n-й член | bₙ = b₁qⁿ⁻¹ | Известны b₁, q и номер n |
| Сумма первых n членов при q ≠ 1 | Sₙ = b₁(1 − qⁿ) / (1 − q) | q ≠ 1 |
| Сумма первых n членов при q = 1 | Sₙ = nb₁ | q = 1 |
Сначала определите, что требуется найти: отдельный член, знаменатель или сумму. Для знаменателя проверьте, что делитель не ноль, а перед вычислением суммы выясните, равно ли q единице. Если q ≠ 1, можно также использовать равносильную запись Sₙ = b₁(qⁿ − 1) / (q − 1).
Дана геометрическая прогрессия 3, 6, 12, … Найдите её знаменатель и следующие два члена. Сначала проверим отношение соседних известных членов, чтобы убедиться, что переход выполняется умножением на одно и то же число. Затем применим найденное правило к последнему известному члену.
Ответ: q = 2; следующие два члена — 24 и 48. Каждый новый член вдвое больше предыдущего. Поэтому вычисление можно проверить делением соседних результатов на 2.
В геометрической прогрессии b₁ = 5 и q = −2. Найдите b₆. Известны первый член и постоянный множитель, поэтому удобнее не выписывать всю последовательность, а применить формулу n-го члена. Отрицательное значение знаменателя нужно возвести в степень вместе со знаком.
Ответ: b₆ = −160. Знак результата отрицательный, что согласуется с чередованием знаков при умножении на −2. Степень относится ко всему числу −2, а не только к двойке.
Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии, если b₁ = 4, q = 3. Знаменатель не равен единице, поэтому можно использовать общую формулу суммы. Нужно внимательно определить показатель степени: для суммы первых шести членов в формуле стоит q⁶.
Ответ: 1456. Проверка возможна сложением членов 4, 12, 36, 108, 324 и 972. Их сумма также равна 1456.
Знаменатель путают с разностью арифметической прогрессии: вместо умножения вычитают соседние члены. Это происходит, если ориентироваться только на то, что оба вида прогрессий задают одним правилом перехода. Проверьте, сохраняется ли отношение соседних членов; для геометрической прогрессии оно должно быть постоянным.
В формуле n-го члена иногда пишут qⁿ вместо qⁿ⁻¹. Ошибка возникает, когда считают номер члена, но забывают, что от первого до него нужно сделать на один переход меньше. Проверьте формулу на n = 1: она должна давать b₁, а выражение b₁qⁿ⁻¹ действительно превращается в b₁q⁰ = b₁.
При поиске знаменателя делят предыдущий член на следующий, хотя нужно вычислить отношение bₙ₊₁ / bₙ. Перепутать порядок легко, потому что в записи участвуют два соседних числа. Проверка простая: умножьте предыдущий член на найденное q — должен получиться следующий.
Формулу суммы с делением на 1 − q применяют и при q = 1. Знаменатель тогда равен нулю, поэтому формула не имеет смысла; причина ошибки — невнимательная подстановка данных. Если q = 1, все члены равны b₁, и сумму находят умножением b₁ на число членов: Sₙ = nb₁.
Для работы с геометрической прогрессией нужны навыки действий с последовательностями, степенями и отношениями чисел. Отношение помогает находить знаменатель, а свойства степеней — вычислять дальние члены и суммы. Если известные соседние члены не нулевые, постоянство их отношений позволяет проверить, что последовательность геометрическая.
Геометрическая прогрессия встречается в задачах на проценты и сложные проценты. Если величина за каждый период умножается на один и тот же коэффициент, её значения образуют такую последовательность. То же правило описывает многократное увеличение или уменьшение: достаточно знать начальное значение и постоянный множитель за один шаг.
Как отличить геометрическую прогрессию от арифметической?
В арифметической прогрессии разность соседних членов постоянна: следующий член получают сложением одного и того же числа. В геометрической прогрессии постоянно отношение соседних членов: следующий получают умножением на одно и то же число.
Как найти знаменатель геометрической прогрессии?
Разделите любой член, кроме первого, на предыдущий: q = bₙ₊₁ / bₙ. Предыдущий член не должен быть равен нулю, иначе делить на него нельзя.
Почему в формуле n-го члена стоит степень n − 1?
Чтобы перейти от первого члена ко второму, знаменатель умножают один раз, а до третьего — два раза. До n-го члена нужно сделать n − 1 переходов, поэтому bₙ = b₁qⁿ⁻¹.
Что делать, если знаменатель прогрессии отрицательный?
Используйте отрицательное значение q в формулах без изменений. При умножении на отрицательное число знаки членов чередуются, а знак степени учитывают по её чётности.
Какую формулу суммы использовать, если q = 1?
При q = 1 все члены равны b₁, поэтому сумма первых n членов равна nb₁. Формулу с делением на 1 − q использовать нельзя: её знаменатель в этом случае равен нулю.
§ 4. Геометрическая прогрессия
