"Математика: алгебра и геометрия", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Арифметическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый следующий член получается прибавлением одного и того же числа. Это число называют разностью прогрессии. Зная первый член и разность, можно сразу найти любой член, не выписывая предыдущие. А если нужно сложить несколько первых членов, используют формулу суммы. Эти правила помогают описывать равномерное увеличение или уменьшение величины и решать задачи о рядах, шагах и одинаковых выплатах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Числовая последовательность — это набор чисел, каждому из которых соответствует номер из натуральных чисел. Её члены записывают так: a₁, a₂, …, aₙ, где индекс показывает место числа в последовательности. Например, a₁ — первый член, а aₙ — член с номером n. Такая запись помогает говорить о любом члене, даже если не выписывать всю последовательность.
Арифметическая прогрессия — числовая последовательность, в которой каждый следующий член получают, прибавляя к предыдущему одно и то же число. Например, в последовательности 2, 5, 8, 11, … каждый раз прибавляют 3. Постоянное число, которое прибавляют, может быть и отрицательным, и нулём. Определение позволяет проверить, подходит ли последовательность под это правило.
Разностью арифметической прогрессии называют постоянное число d, равное разности двух соседних членов: d = aₙ₊₁ − aₙ. Здесь из следующего члена вычитают предыдущий, а не наоборот. Зная разность, можно определить правило перехода от любого члена к следующему. Поэтому её находят прежде, чем применять формулы прогрессии.
Формула n-го члена связывает член с его номером, первым членом и разностью: aₙ = a₁ + (n − 1)d. Она позволяет найти нужный член сразу, без последовательного выписывания всех предыдущих. Для этого нужно знать a₁, d и номер n. Например, так удобно находить сотый член, даже если первые девяносто девять не нужны.
Сумма первых n членов обозначается Sₙ: это результат сложения a₁ + a₂ + … + aₙ. Её можно вычислить по формуле Sₙ = n(a₁ + aₙ) / 2, если известны первый и последний члены. Если последний член не дан, используют Sₙ = n(2a₁ + (n − 1)d) / 2. Формулы заменяют длинное сложение более коротким вычислением.
Из определения прогрессии следует правило aₙ₊₁ = aₙ + d. Оно говорит, что для перехода к следующему члену нужно прибавить одну и ту же разность. Если известен текущий член и значение d, можно определить следующий; повторяя это действие, получают всю последовательность. Например, при a₁ = 4 и d = 2 получаются 4, 6, 8, 10, …
Повторно применяя правило перехода, можно выразить любой член через первый. Второй член равен a₁ + d, третий — a₁ + 2d, четвёртый — a₁ + 3d. Значит, чтобы добраться от первого члена до n-го, разность прибавляют n − 1 раз, и получается aₙ = a₁ + (n − 1)d. Число шагов именно на единицу меньше номера, потому что первый член не нужно изменять, чтобы получить его самого.
Знак d показывает направление изменения членов. При d > 0 к каждому члену прибавляется положительное число, поэтому прогрессия возрастает; при d < 0 прибавляется отрицательное число, поэтому она убывает. Если d = 0, прибавление ничего не меняет, и все члены равны. Это свойство описывает изменение последовательности, но само по себе не говорит, положительны или отрицательны её члены.
Чтобы получить сумму первых n членов, сложим их попарно с концов: первый с последним, второй с предпоследним и так далее. В каждой такой паре сумма одинаковая: a₁ + aₙ = a₂ + aₙ₋₁, поскольку при движении к середине один член увеличивается на d, а другой уменьшается на d. Пар получается n / 2, поэтому сумма равна n(a₁ + aₙ) / 2. Та же формула работает при нечётном n: средний член можно считать половиной пары, а результат остаётся тем же.
Если aₙ неизвестен, его можно подставить из формулы n-го члена. Тогда a₁ + aₙ = a₁ + a₁ + (n − 1)d = 2a₁ + (n − 1)d, откуда Sₙ = n(2a₁ + (n − 1)d) / 2. Эта запись полезна, когда даны первый член, разность и число складываемых членов. Так можно найти сумму, не вычисляя последний член отдельно.
| Что рассматриваем | Формула или условие | Что позволяет найти |
|---|---|---|
| Определение прогрессии | aₙ₊₁ = aₙ + d | Следующий член по предыдущему |
| Разность | d = aₙ₊₁ − aₙ | Постоянное изменение между соседними членами |
| n-й член | aₙ = a₁ + (n − 1)d | Член с заданным номером |
| Свойство среднего члена | aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁) / 2 | Средний из трёх соседних членов |
| Сумма первых n членов через первый и последний члены | Sₙ = n(a₁ + aₙ) / 2 | Сумму, если известны оба крайних члена |
| Сумма первых n членов через первый член и разность | Sₙ = n(2a₁ + (n − 1)d) / 2 | Сумму, если последний член отдельно не известен |
Сначала определи, какие величины известны в задаче и что требуется найти. Для одного члена выбирай формулу n-го члена, а для суммы — подходящую формулу Sₙ. Если сомневаешься в разности, вычисли её по двум соседним членам и проверь знак.
Проверим последовательность 5, 9, 13, 17, … и найдём её разность. Недостаточно увидеть, что числа возрастают: они могут увеличиваться на разные величины. Поэтому сравним изменения между всеми соседними парами, которые указаны в условии. Если эти изменения одинаковы, последовательность соответствует определению арифметической прогрессии.
Ответ: последовательность является арифметической прогрессией, её разность d = 4. Проверка устроена именно так: постоянство разности соседних членов и есть условие прогрессии. Если бы хотя бы одна разность отличалась, сделать такой вывод было бы нельзя.
Найдём двадцатый член, если a₁ = 7 и d = −3. Выписывать девятнадцать переходов подряд не нужно: формула n-го члена учитывает их все сразу. Отрицательная разность означает, что при каждом переходе значение уменьшается на 3. Подставим известные данные, сохраняя скобки вокруг отрицательного числа.
Ответ: a₂₀ = −50. Здесь 19 — количество переходов от первого члена к двадцатому, а не количество членов прогрессии. Отрицательный результат не противоречит условию: члены уменьшаются и после некоторого момента становятся отрицательными.
Найдём сумму первых 30 членов прогрессии, если a₁ = 4 и a₃₀ = 91. Из условия известны оба крайних члена нужного отрезка, поэтому можно сразу использовать формулу суммы через первый и последний члены. Важно подставить n = 30, потому что складываются именно тридцать чисел. Разность для этого вычисления не требуется.
Ответ: сумма первых 30 членов равна 1425. Формула работает, потому что пары, составленные с концов последовательности, дают одинаковую сумму 95. Так длинное сложение заменяется умножением суммы крайних членов на половину количества членов.
В формуле n-го члена иногда пишут aₙ = a₁ + nd вместо a₁ + (n − 1)d. Ошибка возникает, если спутать номер члена с числом переходов: первый член уже находится на месте, и до него ноль шагов. Проверь формулу на n = 1: она должна дать a₁, а не a₁ + d. Подстановка правильной формулы действительно возвращает первый член.
Разность порой вычисляют в обратном порядке: aₙ − aₙ₊₁. Так получают число, противоположное d, и неверно определяют направление изменения. По определению вычитают предыдущий член из следующего: d = aₙ₊₁ − aₙ. Проверь знак на простой возрастающей паре, например 5 и 9: разность должна быть 9 − 5 = 4.
Отрицательная разность не означает, что все члены прогрессии отрицательны. Так думают, смешивая знак изменения с текущим значением: член может оставаться положительным, хотя следующий становится меньше. Например, при a₁ = 8 и d = −2 первые члены равны 8, 6, 4. Чтобы проверить вывод, подставь начальное значение и разность в формулу n-го члена.
В формуле суммы могут перепутать количество членов и количество промежутков между ними. Между a₁ и aₙ находится n − 1 переходов, но сама сумма Sₙ содержит n чисел. Ошибка обычно появляется, когда число шагов автоматически подставляют вместо n. Проверь ответ на двух членах: S₂ = a₁ + a₂, и формула должна учитывать множитель 2.
Для работы с прогрессией нужны умения находить разность двух чисел, выполнять действия с буквенными выражениями и подставлять значения в формулы. Эти навыки помогают не только считать, но и объяснять, откуда получился результат. Арифметическая прогрессия описывает равномерное увеличение или уменьшение: например, одинаковые шаги по длине или выплаты, которые каждый раз меняются на одну сумму. Формулы последовательностей пригодятся при изучении геометрической прогрессии и задач на суммы.
Как быстро проверить, является ли последовательность арифметической?
Вычти каждый член, начиная со второго, из предыдущего. Если все разности одинаковы, последовательность арифметическая. Для проверки достаточно сравнить несколько соседних разностей, если последовательность задана полностью.
Почему в формуле n-го члена стоит n − 1, а не n?
Первый член уже известен, поэтому от него до самого себя нет ни одного шага. Чтобы дойти от a₁ до aₙ, нужно прибавить разность n − 1 раз. Например, до пятого члена — четыре шага.
Может ли арифметическая прогрессия содержать отрицательные числа?
Да, члены прогрессии могут быть положительными, отрицательными или равными нулю. Знак разности показывает, в какую сторону меняются члены, но не определяет их знак. Например, при a₁ = 2 и d = −3 получаются 2, −1, −4, …
Как найти разность, если известны два несоседних члена?
Если известны aₖ и aₘ, где m > k, то между ними m − k шагов. Поэтому aₘ = aₖ + (m − k)d, откуда d = (aₘ − aₖ) / (m − k). Проверь, что индексы подставлены в том же порядке, что и члены.
Какую формулу суммы выбрать, если последний член неизвестен?
Используй формулу Sₙ = n(2a₁ + (n − 1)d) / 2, если известны первый член и разность. Если последний член можно сначала найти по формуле n-го члена, подойдёт и формула Sₙ = n(a₁ + aₙ) / 2.
§ 3. Арифметическая прогрессия
