4.5. Непрерывность функции в точке

Определения и обозначения

Непрерывность функции в точке означает, что при приближении аргумента к точке значения функции приближаются к её значению в этой точке. Иными словами, малое изменение x около a не вызывает несогласованного скачка f(x). Это понятие нужно, чтобы описывать плавное поведение функции.

Предел функции в точке — число, к которому стремится f(x), когда x приближается к заданному числу a. Сам аргумент при этом может не принимать значение a, поэтому предел изучает поведение функции рядом с точкой. Запись имеет вид lim x→a f(x) = L.

Окрестность точки — интервал вокруг этой точки, например (a − δ; a + δ), где δ > 0. При изучении предела рассматривают значения x из такой окрестности, обычно исключая саму точку a. Это помогает сосредоточиться на поведении функции вблизи a.

Условие непрерывности в точке: функция определена в a, существует предел при x → a, и этот предел равен f(a). Коротко это записывают так: lim x→a f(x) = f(a). Выполнение всех трёх требований означает непрерывность функции в точке.

Как это устроено

Одного существования предела недостаточно, потому что предел описывает значения функции только рядом с точкой, а не обязательно в самой точке. В точке функция может быть не определена или иметь специально заданное значение. Поэтому к существованию предела добавляют требование f(a) = lim x→a f(x), чтобы соседние значения и значение в точке не расходились.

На графике непрерывность выглядит как отсутствие разрыва около рассматриваемой точки. Если вести взгляд по графику слева направо, не возникает пропуска, скачка или отдельной точки на другой высоте. Такое изображение возможно именно тогда, когда значение в точке согласуется с тем, к чему приближается график с обеих сторон.

Определение предела и непрерывность связаны одной формулой: при x → a функция стремится не к произвольному числу, а к своему значению f(a). Поэтому для непрерывной функции можно сказать, что приближение аргумента к a вызывает приближение значения функции к f(a). Если предел равен другому числу, согласования нет и непрерывность нарушается.

При проверке нельзя смотреть только на f(a), потому что одно значение ничего не сообщает о поведении функции в окрестности. Например, в точке можно задать любое число, даже если рядом функция стремится к другому. Именно сравнение с пределом показывает, является ли заданное значение естественным продолжением функции.

Проверка по определению состоит из последовательных действий. Сначала находят значение функции в точке, затем вычисляют предел при приближении к ней, при необходимости сравнивают односторонние пределы. Если предел существует и совпадает с найденным значением, функция непрерывна; иначе в точке есть разрыв или функция там не определена.

Условия непрерывности функции в точке

Проверяйте строки именно в таком порядке: сначала убедитесь, что значение в точке существует, затем найдите предел. Если общий предел вычисляется через левую и правую стороны, сравните их. Невыполнение хотя бы одного требования означает, что функция не непрерывна в точке.

Разбор задач

Задача 1. Проверить непрерывность функции f(x) = x² в точке x = 2. Здесь формула определена при любом действительном x, поэтому можно отдельно найти значение и предел.

1. Вычислим значение: f(2) = 2² = 4.
2. При x → 2 имеем lim x→2 x² = 2² = 4, поскольку многочлен непрерывен и предел находится подстановкой.
3. Сравним результаты: lim x→2 f(x) = 4 = f(2).

Ответ: функция непрерывна в точке x = 2.

Задача 2. Пусть f(x) = (x² − 1)/(x − 1) при x ≠ 1 и f(1) = 2. Нужно проверить непрерывность в x = 1, где исходная дробь не определена.

1. Разложим числитель: x² − 1 = (x − 1)(x + 1). При x ≠ 1 получаем f(x) = x + 1.
2. Найдём предел: lim x→1 f(x) = lim x→1 (x + 1) = 2.
3. Значение в точке уже задано: f(1) = 2. Предел равен значению функции, поэтому пропуск в формуле устранён заданием точки.

Ответ: функция непрерывна в точке x = 1.

Задача 3. Функция задана так: f(x) = x + 1 при x < 0 и f(x) = x² + a при x ≥ 0. Найдём a, при котором она непрерывна в точке x = 0.

1. Слева функция стремится к 0 + 1 = 1, поэтому lim x→0− f(x) = 1.
2. Справа и в самой точке используется вторая формула: lim x→0+ f(x) = a, а f(0) = a.
3. Для непрерывности нужно равенство 1 = a. Значит, a = 1, и левый предел, правый предел и значение функции совпадают.

Ответ: a = 1.

Типичные ошибки

Считать функцию непрерывной только из-за существования предела. Предел может существовать, когда функция в точке не задана или задана другим числом. Проверьте наличие f(a) и равенство предела этому значению.

Проверять только значение функции. Число f(a) не показывает, как ведёт себя функция рядом с точкой, поэтому оно может случайно совпасть с ожидаемым. Для самопроверки обязательно вычислите предел при x → a.

Считать достаточным односторонний предел. Слева и справа функция может приближаться к разным числам, тогда общего предела нет. Сравните оба односторонних предела, если точка является границей разных формул.

Сравнивать величины не в той точке или подставлять точку в недопустимую формулу. В дроби с нулевым знаменателем прямую подстановку делать нельзя, сначала нужно преобразовать выражение и найти предел. Затем сравнивайте его именно со значением в указанной точке.

Связь с другими темами

Для изучения непрерывности нужно знать предел функции и уметь находить пределы простых выражений. Без этого невозможно установить, к чему приближаются значения около точки.

Графики помогают увидеть результат проверки: пропуск, скачок или несогласованную точку указывают на разрыв. Поэтому тема напрямую связана с исследованием графиков и поиском точек разрыва.

Непрерывность используется дальше при изучении свойств функций и их поведения. Она помогает обосновывать выводы о графике и понимать, как функция изменяется на промежутке.

Что запомнить

• Функция непрерывна в точке, если она в ней определена.
• Для непрерывности в точке должен существовать предел функции.
• Предел функции в точке должен равняться значению функции в этой точке.
• Непрерывность описывает поведение функции вблизи точки.
• Односторонние пределы должны совпадать, чтобы существовал общий предел.