4.6. Производная функции в точке

Определения и обозначения

Приращение аргумента — разность Δx = x − x₀, показывающая, насколько аргумент изменился около точки x₀. Если перейти от x₀ к x₀ + Δx, число Δx может быть положительным или отрицательным. Оно нужно, чтобы измерять величину малого изменения аргумента.

Приращение функции — разность Δy = f(x₀ + Δx) − f(x₀), то есть изменение значения функции при изменении аргумента. Вычитание f(x₀) обязательно: без него получилось бы новое значение функции, а не его изменение. Приращение нужно для сравнения двух значений функции.

Разностное отношение — отношение Δy/Δx. Оно показывает, насколько в среднем изменяется функция при изменении аргумента на одну единицу. Это аналог средней скорости и первый шаг к определению производной.

Производная функции в точке — предел разностного отношения при Δx, стремящемся к нулю: f′(x₀) = lim(Δx→0) [f(x₀ + Δx) − f(x₀)]/Δx. Она описывает изменение функции именно в точке, а не на конечном промежутке. Обозначают производную также y′(x₀).

Как это устроено

На графике функции можно выбрать две точки: с абсциссами x₀ и x₀ + Δx. Разностное отношение тогда является угловым коэффициентом секущей — прямой, проходящей через эти две точки. Оно характеризует изменение функции на всём выбранном промежутке, поэтому называется средней скоростью изменения.

Чтобы узнать изменение функции непосредственно в точке, вторую точку постепенно приближают к первой. Это означает, что Δx стремится к нулю, но не становится равным нулю во время вычисления отношения. Если значения разностного отношения приближаются к одному числу, это число и принимают за производную.

Существование конечного предела означает, что функция имеет производную в данной точке. Если предел бесконечен или не существует, конечной производной в обычном смысле нет. Поэтому производная — не просто подстановка в формулу, а результат предельного перехода.

Когда секущая превращается в предельное положение, она становится касательной к графику. Её угловой коэффициент равен f′(x₀), поэтому знак производной показывает направление наклона графика. Положительная производная соответствует подъёму касательной, отрицательная — её спуску.

В физике похожая идея возникает при движении тела. Отношение изменения координаты к промежутку времени даёт среднюю скорость, а предел при уменьшении промежутка — мгновенную скорость в данный момент. Поэтому производная позволяет описывать не только графики, но и скорость изменения любых величин.

Если известны значение функции и производная в точке, касательную можно записать так: y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀). Формула содержит координаты точки графика и её наклон. При x = x₀ она даёт y = f(x₀), поэтому касательная проходит через нужную точку.

Основные элементы определения производной

Таблицу удобно читать сверху вниз: сначала задают изменение аргумента, затем находят изменение функции и их отношение. После предельного перехода получают производную, а с её помощью записывают касательную. При решении задачи проверяйте, не перепутаны ли Δx и Δy.

Формула производной связывает алгебраические вычисления с геометрическим смыслом. Значение f(x₀) отвечает за положение точки, а f′(x₀) — за наклон прямой в этой точке.

Разбор задач

1. Производная функции f(x) = x² в точке x₀ = 3

Нужно применить определение, а не готовое правило дифференцирования. Сначала выразим приращение функции через Δx, затем разделим его на Δx и найдём предел.

1. Вычислим приращение: Δy = (3 + Δx)² − 3² = 6Δx + (Δx)².
2. Составим разностное отношение: Δy/Δx = [6Δx + (Δx)²]/Δx = 6 + Δx, так как Δx ≠ 0 при вычислении отношения.
3. Перейдём к пределу: f′(3) = lim(Δx→0)(6 + Δx) = 6.

Ответ: f′(3) = 6. Полученное число является угловым коэффициентом касательной к параболе в точке с абсциссой 3.

2. Производная функции f(x) = 1/x в точке x₀ = 2

Здесь разностное отношение содержит дроби, поэтому его нужно преобразовать. Разность дробей удобно заменить одной дробью, после чего общий множитель Δx сократится.

1. Найдём приращение: Δy = 1/(2 + Δx) − 1/2 = [2 − (2 + Δx)]/[2(2 + Δx)] = −Δx/[2(2 + Δx)].
2. Разделим на Δx: Δy/Δx = −1/[2(2 + Δx)], где Δx ≠ 0.
3. Вычислим предел: f′(2) = lim(Δx→0) −1/[2(2 + Δx)] = −1/4.

Ответ: f′(2) = −¼. Отрицательный знак показывает, что функция убывает в этой точке.

3. Касательная к графику f(x) = x³ − 2x при x₀ = 1

Для касательной нужны две величины: значение функции в точке и производная в точке. Сначала найдём их, а затем подставим в готовую формулу прямой.

1. Вычислим координату по вертикали: f(1) = 1³ − 2·1 = −1.
2. Производная функции в общем виде: f′(x) = 3x² − 2, поэтому f′(1) = 3 − 2 = 1.
3. Подставим значения: y = −1 + 1·(x − 1) = x − 2.

Ответ: уравнение касательной имеет вид y = x − 2. Она проходит через точку (1; −1) и имеет угловой коэффициент 1.

Типичные ошибки

Подстановка Δx = 0 сразу. Так получают неопределённость 0/0, потому что предел ещё не найден. Ошибка возникает из-за смешения предела и обычной подстановки. Сначала преобразуйте разностное отношение, а затем устремите Δx к нулю.

Путаница между f′(x₀) и f(x₀). Первое число показывает скорость изменения и наклон, второе — значение функции. Их часто смешивают, потому что оба вычисляются в одной точке. Проверьте смысл: f(x₀) — координата точки, f′(x₀) — коэффициент наклона.

Неверное приращение функции. Запись f(x₀ + Δx) — это новое значение, а не приращение. Приращение обязательно равно f(x₀ + Δx) − f(x₀). Для самопроверки убедитесь, что приращение обращается в ноль при Δx = 0.

Неправильная касательная. Иногда в формулу подставляют только производную и забывают координату точки. Из-за этого прямая может иметь нужный наклон, но не проходить через график. Проверьте подстановкой x = x₀: должно получиться y = f(x₀).

Связь с другими темами

Для изучения производной нужны предел функции, приращения и разностное отношение, а также уравнение прямой. Позже производная поможет исследовать функции, находить экстремумы, строить касательные и решать прикладные задачи о скорости изменения. В физике она связывает закон движения с мгновенной скоростью и описывает изменяющиеся величины.

Что запомнить

• Производная в точке — предел отношения приращения функции к приращению аргумента.
• Производная существует, если этот предел конечен.
• Производная обозначается f′(x₀) или y′(x₀).
• Геометрически производная равна угловому коэффициенту касательной.
• Физически производная описывает мгновенную скорость изменения величины.
• Касательная в точке x₀ задаётся формулой y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀).