"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углублённый уровни", Рубин А.Г., Чулков П.В.
Правила вычисления производных позволяют находить производную сложного выражения по частям, не возвращаясь каждый раз к определению. Постоянный множитель сохраняют, сумму и разность дифференцируют слагаемое за слагаемым, а для произведения и частного используют специальные формулы. Главное — правильно определить строение функции, соблюсти порядок действий и проверить, где выражение определено. Эти приёмы нужны для исследования функций, а также для решения задач о скорости и ускорении.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Правило вынесения постоянного множителя гласит: производная произведения постоянного числа C и функции f(x) равна C f′(x). Например, коэффициент перед степенью x остаётся при вычислении производной. Так удобнее дифференцировать выражение, не изменяя его числовые множители.
Правило производной суммы: производная суммы функций равна сумме их производных, (f + g)′ = f′ + g′. Для разности действует такое же правило со знаком минус: (f − g)′ = f′ − g′. Оно позволяет находить производную каждого слагаемого отдельно, что особенно полезно для многочленов.
Правило производной произведения задаёт формулу (fg)′ = f′g + fg′. Здесь производная первого множителя умножается на второй, а первый множитель — на производную второго. Формула нужна, когда выражение записано как произведение функций и раскрывать скобки невыгодно.
Правило производной частного имеет вид (f/g)′ = (f′g − fg′)/g², если g(x) ≠ 0. В числителе сначала стоит производная числителя, умноженная на знаменатель, затем вычитается числитель, умноженный на производную знаменателя. Правило помогает дифференцировать дроби, а условие напоминает, что делить на ноль нельзя.
Правило постоянного множителя следует из определения производной через отношение приращения функции к приращению аргумента. Если функция умножена на число C, её приращение тоже умножается на C: Δ(Cf) = CΔf. Поэтому при переходе к пределу постоянное число можно вынести за знак предела, и получается (Cf)′ = Cf′. Это отражает то, что постоянное число изменяет масштаб функции, но не характер её изменения.
Чтобы получить правило суммы, рассмотрим приращение f(x) + g(x). Оно равно Δf + Δg, потому что изменения двух слагаемых складываются. После деления на приращение аргумента получаем сумму двух отношений, а предел суммы равен сумме пределов, если обе производные существуют. Значит, скорость изменения суммы складывается из скоростей изменения её частей; для разности тот же ход даёт разность производных.
В произведении при изменении аргумента меняются сразу оба множителя. Его приращение можно записать как Δ(fg) = Δf · g + f · Δg + Δf · Δg, где значения без значка Δ относятся к исходной точке. После деления на приращение аргумента два первых слагаемых дают f′g и fg′. Последнее слагаемое стремится к нулю, поэтому остаётся сумма двух вкладов. Именно поэтому правило нельзя заменить умножением производных.
Правило частного можно вывести, представив f/g как произведение f и 1/g. Для обратной функции 1/g производная равна −g′/g²: это получается из определения производной или из формулы для производной степени −1. Теперь применяем правило произведения: f′/g − fg′/g². Приведение к общему знаменателю даёт (f′g − fg′)/g², а квадрат возникает из производной обратной величины.
Для сложного выражения полезно сначала распознать его внешнюю операцию: например, увидеть, что две скобки перемножены или одна функция делится на другую. Затем применяют правило именно к этим частям, не пытаясь сразу обработать всё выражение. Производные отдельных частей находят по таблице известных производных и снова применяют нужные правила, если части сами устроены сложно. В конце раскрывают скобки или приводят подобные слагаемые, когда это упрощает ответ.
| Функция | Её производная | Условия |
|---|---|---|
| C·f(x) | C·f′(x) | C — постоянное число |
| f(x) + g(x) | f′(x) + g′(x) | Функции дифференцируемы |
| f(x) − g(x) | f′(x) − g′(x) | Функции дифференцируемы |
| f(x)·g(x) | f′(x)·g(x) + f(x)·g′(x) | Функции дифференцируемы |
| f(x)/g(x) | [f′(x)·g(x) − f(x)·g′(x)]/g²(x) | g(x) ≠ 0 |
Сначала определите, какая операция соединяет крупные части функции, а затем выберите соответствующую строку таблицы. Для каждой части подставьте её производную, сохраняя остальные множители на своих местах. В дроби проверьте знак между слагаемыми числителя и квадрат знаменателя.
Найдите производную функции y = 5x³ − 4x + 7. Здесь выражение является разностью слагаемых, а у двух слагаемых есть постоянные множители. Поэтому удобно дифференцировать каждое слагаемое отдельно, используя производную степени xⁿ, равную n xⁿ⁻¹, и производную постоянного числа, равную нулю.
Найдите производную функции y = (x² + 1)(3x − 2). Это произведение двух функций, поэтому применим правило произведения, не перемножая скобки заранее. Такой способ сохраняет вид выражения и помогает не потерять слагаемые.
Найдите производную функции y = (x² + 1)/(x − 3) и укажите область, где она определена. Сначала заметим, что знаменатель обращается в ноль при x = 3, поэтому это значение исключается. Для производной используем правило частного, внимательно сохраняя порядок слагаемых в числителе.
При дифференцировании произведения иногда записывают f′(x)g′(x). Это ошибка: так теряется информация о том, что приращение каждого множителя влияет на произведение. Её часто допускают, механически перенося обычное правило умножения чисел. Проверяйте, есть ли в ответе два слагаемых f′g и fg′.
В формуле производной частного можно переставить слагаемые числителя или забыть квадрат знаменателя. Ошибка возникает, когда формулу вспоминают по отдельным фрагментам, а не целиком. Перед упрощением запишите формулу и отдельно подставьте числитель, знаменатель и их производные. Затем сверьте знак минус и степень знаменателя.
Ещё одна неверная запись — производная частного как f′/g′. Такое правило иногда кажется правдоподобным по аналогии с делением, но оно не следует из определения производной. Чтобы проверить себя, подставьте функции в правило частного и убедитесь, что в результате есть два слагаемых в числителе и квадрат знаменателя.
В длинном выражении можно забыть дифференцировать одно из слагаемых или множителей. Обычно это происходит, если не выделить части выражения до вычислений и сразу пытаться упростить запись. Разбейте выражение на блоки, подпишите производную каждого блока и только потом соберите ответ по формуле. Число слагаемых и множителей в рассуждении поможет заметить пропуск.
Для работы с правилами вычисления производных нужны определение производной, таблица производных элементарных функций и навыки преобразования выражений. Эти знания позволяют вычислять производные составных выражений, а затем исследовать функции на монотонность и экстремумы. В физике производная координаты по времени описывает скорость движения, а производная скорости — ускорение. Поэтому правила помогают переходить от формулы движения к характеристикам изменения движения.
Можно ли сначала раскрыть скобки, а потом найти производную?
Да, если раскрытие скобок упрощает выражение и не меняет его область определения. Например, произведение многочленов можно раскрыть и затем дифференцировать слагаемые. Но часто быстрее применить правило произведения.
Почему производная произведения не равна произведению производных?
При изменении аргумента меняются оба множителя, поэтому приращение произведения учитывает вклад каждого из них. Отсюда в формуле появляются два слагаемых: f′(x)g(x) и f(x)g′(x). Произведение производных эти изменения не описывает.
Как запомнить порядок слагаемых в правиле производной частного?
Удобно проговаривать формулу так: производная числителя умножить на знаменатель, затем вычесть числитель, умноженный на производную знаменателя. Внизу стоит квадрат знаменателя. Подстановка функций в формулу помогает не перепутать порядок.
Нужно ли указывать, где знаменатель не равен нулю?
Да, частное определено только там, где его знаменатель не равен нулю. Это условие нужно учитывать и при вычислении производной, и при записи области определения исходной функции. Например, для знаменателя x − 3 требуется x ≠ 3.
В каком порядке применять несколько правил к одному выражению?
Сначала определите главную, внешнюю операцию: сложение, произведение или деление. Затем примените соответствующее правило и найдите производные частей выражения. В конце упростите результат, не забывая об области определения.
4.7. Методы вычисления производных
